物理
高校生
解決済み
【途中計算】青線から何をどうやっても答えが出ません。途中計算を教えてください
〇大き
響は
168 万有引力による運動 質量 m[kg]の小物体を地
上の1点から鉛直上向きに速さvo [m/s]で打ち上げた
〔m〕 (R は地球の半径)
ところ,地球の中心から2R
この瞬間に
の距離にある点Aで速さが0になった。
VA
20 地球R
A 2R
6R
B
ため
OAに垂直な方向に速さv[m/s] を与えたところ、小
物体は0を中心とする半径 2R の等速円運動をした。
求め』地上での重力加速度の大きさを g〔m/s〕とする。
(1) vo および を g, R で表せ。
(2) 等速円運動をしている小物体の速さを点Aでv[m/s] に変えると, 上図のAB を
長軸とする楕円軌道を描いた。 点Bの地球の中心からの距離が6R のとき, ひはいく
らか。 , R で表せ。
(3) (2) 楕円軌道を運動する小物体の周期はいくらか。 g, R で表せ。
(4) 等速円運動をしている小物体の速さを点Aでv" [m/s] に変えた。 小物体が地球に
衝突もせず,かつ無限遠点に飛び去ることもなく楕円軌道を描き続けるためには,び”
はどのような範囲になければならないか。
[168
-46
(1) vo: √gR[m/s],
R
(3) 167 [s] (4)
≤v"<√gR
g
合力
○指針 (1) ひ については力学的エネルギー保存の法則を用いる。 vに
ついては円運動の運動方程式を立てる。 または,遠心力を考えて半径方
向の力のつり合いの式を立ててもよい。 (2) 力学的エネルギー保存の法
則とケプラーの第2法則 (面積速度一定の法則)を用いる。(3) ケプラー
の第3法則を用いる。 (4) 無限遠点に飛び去るときの速さと,地球に衝
突せず楕円軌道を描くときの最小の速さを求め,その間の速さであれば
よいと考える。地球に衝突せず楕円軌道を描く最小の速さのとき, 小物
体は点Oから点Bのほうへ尺だけ離れた点 C を通る。
v: Volk (m/s] (2)
2
また,mg = G
解説 (1) 地球の質量をM[kg〕, 万有引力定数をG[N･m²/kg〕とす
ると,小物体を打ち上げたときと速さが0になったときにつ
いて,力学的エネルギー保存の法則より, 無限遠点を万有引
力による位置エネルギーの基準点として,
Mm
R2
1/2 mv ² + ( - G Mm) = 1/2 m × 0² + ( - G Mm)
mv²
・G
R
gR
3
より、
GM=gR2...... ②
√3gR[m/s]
2
GM
‥. ①
① ② より vo=
√gR[m/s] (vo <0は不適)
NR
次に,小物体が等速円運動をしているとき, 小物体の円運動
の運動方程式は,
11
m
2R
Mm
(2R)2
GM gR [m/s] (v<0は不適)
V 2R
√2
(2) 点Bでの速さを V[m/s] とすると, ケプラーの第2法則
(面積速度一定の法則) より,
x6RX V
力学的エネルギー保存の法則より,
1 m² ² + (-G Mm) = 1/2 mV² + ( - GAR
Mm
mv
me
2R
6R
④⑤より
②③より, v=
11/1×
-x2Rxv
②よりv=
1 /3GM
2V
√/3gR (m/s)
V
2
R
- [m/s] (v<0は不適)
(3) 等速円運動の周期をT〔s] とすると,T=-
V
楕円軌道の運動の周期をT' 〔s] とすると, ケプラーの第3法
則より,
T2 T'2
(2R)3 (4R)3
R
これより, T'=2√2=2√2x-
= 16T
g
(4) 無限遠点に飛び去るために必要な最小の速さを 〔m/s] と
すると,力学的エネルギー保存の法則より,
1/2 mv ² + ( - G Mm
=
2R) = 1/2m x 0² +0
GM
2π×2R
② ⑥ ⑦ より V2=
11
ゆえに, 01
=√gR[m/s] (v<0は不適)
NR
に
地球に衝突しないために必要な最小の速さをv2 [m/s] とす
ると,このときの小物体の運動は,点Oから点Bのほうへ
Rだけ離れた点Cを通る楕円運動となる。この点Cでの速
さを V'[m/s〕とすると, ケプラーの第2法則 (面積速度一定
の法則)より,
2π X2R
×2R×12=1/12 XRXV
2
力学的エネルギー保存の法則より、
1/2 mv ² + ( - 6 Mm) = 1/2 mV ² + ( - 6 Mm)
G
GM
gR
√ 3R √3
したがって 求めるの範囲は、
V₂≤v" <V1
ゆえに、
gR
3
= (m/s] (u2<0は不適)
-Sv" <√√gR
側
地
と明
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送るところミスりました🙇♂️