文法的には正しく理解できていますよ。
内容についての知識がないから変な訳になったり自信が持てないんだと思います。
まずasの節について
「〜なる」のcome to っていう表現は、
come to V 〜するようになる のことですかね？
comeのうしろにto 不定詞が来た場合の表現なので、
今回みたいに名詞が来た場合は違うんじゃないですかね。
質問者さんの訳は 〜に 来る と訳していて、
こちらの方が正しいです。
おそらく内容的には「中東世界が近代化するにつれて」ってことが言いたいんだと思うんです。
ただこれをそのまま意訳としちゃうのは
原文の英語から少し離れすぎてますかね。
近代的な世界というものが、中東世界にやってくるにつれて
みたいな感じでいいと思いますよ。
come toのところは「〜になる」という変化の意味ではなくて、「〜に来る」と言っているだけだけど、
これは擬人法みたいなものだと思います。
文全体の内容としては近代化という「変化」を表しているので、
asは「〜につれて」という訳し方で問題ないと思います。
余計な話になりますが
直した方がいいのはmodernの訳です。
modernは、現代の（=contemporary）という意味もありますが、
「近代」っていう特定の時期を指す場合があります。
今回がそうです。
自分も世界史の教科書に載ってそうなことしか、わからないですけど
フランス革命とか産業革命とかアメリカ独立とか、主にその辺からが「近代」。
形容詞で「近代的な」というときは、
近代 という時代に生まれた価値観とか世界観に沿っているものを「近代的」と言ってると思えばいいです。
歴史の教科書に出てくるようなことで言えば、
「自由」とか「平等」とかの価値観が広まって
国民主権とか三権分立とか、議会制民主主義の基本的な仕組みが導入された、とか
経済の面では工業化が進んだとか
その昔は家で家事と子育てするのが女性の仕事だったけど、工場で機械を動かしたりとかは女性でもできるから、
家事とかプライベートの面のだけじゃなくて
社会の歯車に女性もなるようになった、とか
でも、平等とかいう割に
たとえば選挙権も非選挙権も最初は男性にしか与えられなかったから、
男性と同じ働き方をしてるのにおかしい！ってなって、女性にも参政権を与えろーっていう運動があったりして、それが認められるようになった、とか
それは近代が始まって100年くらい経ってから
ヨーロッパでは1800年代の後半から1900年代の前半までの話。
女性に参政権が認められると、当然女性の味方になる政治家が力を持つようになったり、
女性自身が政治家になったりするから
結果として女性が世の中で活躍しやすくなる、そういう社会の仕組みにかわっていきますよね。
そんで
こういうヨーロッパで生まれた価値観が、他の地域にも広まっていくんですけど、
例えば日本では黒船がやってきて大政奉還があって明治に入って、みたいな大きな動きがたくさんありましたよね。
中東でもいろんな出来事を経て、近代的な価値観が定着して、
それによって女性がプライベートな領域だけじゃなくてより社会のいろんな面で役割を担うようになった
ということだと思うんですね。
中東だとイスラム教がベースだから、女性の参政権はかなり最近まで認められなかった国もあります。
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E5%A5%B3%E6%80%A7%E5%8F%82%E6%94%BF%E6%A8%A9
長くなりましたけどこんな感じの知識があると
publicはprivateの反対だから
public lifeは「社会生活」とか「市民生活」とか、
生活の中でもおうちの中の暮らしじゃなくて、
社会に広く関わる暮らしぶりのことを言ってるとわかります。
その中でも特に、女性の活躍できる世の中を、
女性自身が作るってことで、
政治家（=公人）としての生活
という意味になる場合もあります。
https://context.reverso.net/%E7%BF%BB%E8%A8%B3/%E8%8B%B1%E8%AA%9E-%E6%97%A5%E6%9C%AC%E8%AA%9E/public+life
https://www.ldoceonline.com/jp/dictionary/public-life