Question

Cy

【問】整数f(x)について恒等式f(x²)=x³f(x+1)-2x⁴+2x²が成り立つとする。

(1)f(0),f(1),f(2)の値を求めよ。
(2)f(x)の次数を求めよ。
(3)f(x)を決定せよ。

※98年　東京都立大

この問題の解答が添付した写真なのですが、f(2)=2√2(1+√2)-8+4がf(1+√2)=√2になる理由がわかりません。教えてほしいです。

(2) x=√2 とおくと f(2)=2√2f(1+√2)-8+4 で,
f(2) = 0 だから f(1+√2)=√2
このことからf(x) は定数関数ではなく、
f(x) = 0 が少なくとも3つの解をもつから,
f(x) の次数をnとおくと, n≧3 である。
f(x2) の次数は 2n, xf(x+1) の次数は3+nで,
3+n≧6 だから 右辺の次数は3+nである。
したがって 2n=3+n から n=3
すなわち f(x) の次数は3である。
(3) f(0)=f(1)=f(2)=0 で, f(x) が3次式だから
f(x)=ax(x-1)(x-2) (αは0でない定数)
とおける。 ここでf(1+√2)=√2 だから
a(1+√2) √2(-1+√2)=√2
これより α=1
したがって f(x)=x-3x+2x

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

函館駅前

単純にf(1+√2)について解いただけ。
詳しい変形は付属のプリントを見てみて。
何かあれば、また聞いてください