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この問題、2ヶ月に1回くらい質問で見ますね。
believeに限らずthinkとからguessとかの「思う」系の動詞に共通する語法です。
選択肢はどれも受動態になっていますが
まず能動態で考えてみます。
このタイプの動詞は第3文型SVOと第5文型SVOCを取ります。
第3文型の場合 that節が目的語です。
【a) We believe that he made a fortune in his youth】
「我々は、彼は若い頃に財を成した、と信じている」
第5文型は次のように考えると良いです
a)の文のthat節の主語を、believeの目的語の位置に移動させます。
そうすると、that節の主語がなくなってしまいますから、主語が必要ないto不定詞を代わりに使ってやります。
つまり
【b) We believe him to have made a fortune in his youth】
「我々は、彼は若い頃に財を成した、と信じている」
当たり前ですがa)b)の訳は同じです。
himが目的語・to have made〜文末までが補語です。
注意なのはto have madeの部分です。
完了不定詞は、見た目は完了形ですが、「継続」とか「経験」とか、完了形の意味は全くありません。
主節の動詞believeが現在形で、to have madeはそれよりも過去に起きたことという「時制の差」を表しているだけです。
次にa)・b)を受動態にすることを考えます。
受動態は、目的語を主語の位置に持ってきて、全体を書き換えた文のことです。
a)の受動態は
That he made a fortune in his youth is believed
でも構いませんが、普通はthat節は後ろに置いたままにして、仮主語のitを置きます。
【c) It is believed that he made a fortune in his youth】
「彼は若い頃に財を成した、と信じられている」
b)の受動態は
目的語himを主語の位置に持ってくればいいから
【d)He is believed to have made a fortune in his youth】
「彼は、若い頃に財を成したと信じられている」
c)とd)の訳は同じでも構わないのですが、
c)は主語がthat節（仮主語がありますが）なのに対して、d)はHe ですから、その点を意識して変えてみました。
まとめると
a) We believe that he made a fortune in his youth
b) We believe him to have made a fortune in his youth
c) It is believed that he made a fortune in his youth
d)He is believed to have made a fortune in his youth
この4つの型しか基本的にありえないのです。
付け加えで説明すると、
c)とd)を比較すると
c)の型のthat節の主語が、d)では主節の主語になっていますね。
能動態の場合は、that節の主語を移動させると目的語の位置に来たけど、
受動態の場合は主語の位置にきます。
では、ここまで見てきた型と選択肢を比較してみましょう。
選択肢①
c)に近いけどthat節のなかが現在完了形になっている
現在完了形は、過去の一時を表す語句と一緒には使えません。in his youthは彼が若かった頃 という過去の一時を表す語句です。
選択肢②
He is believed that he 〜という形はありえません。
that節のなかの主語が、that節の外に出たら、
that節はto不定詞に変わっていないとおかしいはずです。
選択肢③
d)の型と完全一致→正解
選択肢④
d)に近いけど完了不定詞でない
ということは、
主節の時制と、「時制差が無い」ということです。
主節の時制はHe "is" believedだから現在です。
だからto make a fortuneしているのも現在のことになる、ということですが
過去の一時の表現in his youthがありますから、この点が矛盾します。