Question

カモメ

整数の性質の質問です。この問題の(2)の解答の部分です。なぜ、ア、イ、ウのような場合分けをするのか分かりません。解説をお願いします。

例題241 倍数であることの証明
nが整数であるとき,次のことを証明せよ。
(1)
は6の倍数である。
DONEtey
[出]
★★
(2) 2n+3n²+nは6の倍数である。

す
L
お
解 (1) n-n=n(n²-1)=(n-1) n(n+1)
(n-1) n(n+1) は連続する3つの整数の積であり,この
3つの整数の中には2の倍数,3の倍数がそれぞれ少な
くとも1つ含まれるから, 6の倍数である。
よって,n-nは6の倍数である。
例題
240
(2) N = 2n+3n²+ n とおくと
N = n(2n²+3n+1)=n(n+1)(2n + 1)
n(n+1) は連続する2つの整数の積であり, n, n+1の
いずれかは2の倍数であるから,Nも2の倍数である。
次に
(ア) n=3k(kは整数) のとき
N = 3k(3k + 1)(6k+1)
か
(イ) n = 3k+1 (kは整数) のとき
N = (3k+1)(3k+2)(6k+3)=3(3k+1)(3k+2)(2k+1)
(ウ)n=3k+2 (kは整数)のとき
N = (3k+2) (3k+3)(6k+5)=3(3k+2) (k+1)(6k+5)
は整数であるから, (ア)~ (ウ) のいずれの場合も N は3
の倍数となる。
したがって, 2n+3n²+nは6の倍数である。
与え
する
n³ 3
一般
整数
なる
nを
り

数i 整数の性質 倍数であることの証明