Question

時透

これの因数分解のやり方を教えてください！

4 x 3² + 1 を因数分解
値の組合せとして正しいも

Answer 1

数学愛好家

この問題は整数の範囲で因数分解できないのでこのように実数範囲で解きます
そのままだと因数分解が難しいので
x⁴−3x²+1＝0の解xを利用します
x²＝AとおくとA²−3A+1＝0
A＝(3±√5)/2⇔x²＝(3±√5)/2⇔x＝±√(3±√5)/√2
右辺の分母分子に√2を掛けて
x＝±√(6±2√5)/2
二重根号の公式√a±√b＝√(a+b±2√ab)
ただしa.bは正実数(a>b)より
x＝±(√5±1)/2
⇔2x−{±(√5±1)}＝0
⇔{2x−(√5+1)}{2x−(√5−1)}{2x+(√5+1)}{2x+(√5−1)}＝0
ここでx⁴−3x²+1＝0と比較し左辺が等しいことから
x⁴−3x²+1＝{2x−(√5+1)}{2x−(√5−1)}{2x+(√5+1)}{2x+(√5−1)}
と実数範囲で因数分解することができます