Question

らむ

私が右に書いたような答え方でも問題ありませんか...?

107 図形の最大・最小(2)
水平におかれたコップに水がいっぱい入っている.コップの内側は、口の
半径が α, 底の半径がb (a>b), 深さがんの円錐台をなしている。 このコッ
プに半径が高さがんより大きい直円柱のガラス棒をその底面が水平にな
るように沈めるとき, 排除される水の量 V が最大となるようなπを求めよ.
(広島大)
の動く範囲は 0<x<a ですが,
0<x≦b においてVが最大となる
精講
のは明らかにx=6のときなので, b≦x<a の
範囲でのVの最大値を考えれば十分です.
ガラス棒の半径xが与えられれば,ガラス棒と
コップがどの位置で触れるか決まります。
すなわち、ガラス棒の水に沈んだ部分の長さは
で表すことができます。これにより、排除され
る水の量
V=2x(ガラス棒の水に沈んだ長さ)
はxの関数として表されます.
このあとは,Vをxで微分します. 増減表をか
くときに, 極値となるx が定義域b≦x<a 内に
あるか否かの場合分けが必要になります。
0<x≦6 のとき,Vは単調増加であり,Vは
x=bで最大となる. したがって, b≦x<a で考
えれば十分である.
ガラス棒の水に沈んだ部分の長さをyとすれば,
右図で、△APQS △ABC から
h
a-b
y
a-x
..
a-xh
y=a-b
V= πx²y=_hr²(a-x)
ここで、f(x)=x^(-x) とおくと
f'(x)=2ax-3x²=3.x
2a
3
解法のプロセス
IC
水に沈んだガラス棒の長さを
で表し
↓
Vをxの関数として表す
↓
V の極値となるが定義域
b≤x<a
の内にあるか否かで場合分けす
る
A/QC
P
ys
a
O
241
B b
y=f'(x)
2a
3
a
x

242 第6章 微分法とその応用
f(x) が極値となるx=
る.
(i) b≧
2a
3
2aのとき
3
b≦x<a の範囲で f'(x) ≧0
よって, f(x) は x = b で最大.
2a で最大.
3
ゆえに, 求めるxは
が定義域 b≦x<a 内にあるか否かで
(i) b=2のとき, f(z) は右表のように増減し,
3
x=
1/28 <1のとき、x=
2a
3
1<1=1/12/2 のとき, z=b
≦
li z
3
1</10/12/2 のとき
f'(x)
>1>0 t f(x)
くこのとき、こと
IC
x=
12/11/2のとき
px>x20
x=2+解
えてくa→定
39
かで場合分けて
b
:
+
a
18> 13 のとき
b 2
研究のとき,Vはが1に近ければx=6で最大となり,1よりあ
る程度大きければ x > b をみたすxで最大になると見当がつく.
本問の結果より「ある程度」の境目が a 3
=
b 2
下図を参照せよ.
2a
3
508SO
0
5,
であることがわかった.
標問
550082570

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

かき

大丈夫だと思いますが、より確実に正解を目指すなら、
2つ目は、
　2/3 ≦ b/a < 1
とした方が良いです。

かき

😊