Question

らむ

x=2a/3なので、 b≦2a/3くaですよね？
なぜb≧2a/3の時なども調べるのですか？
教えてください🙏

[107]
図形の最大 最小 (2)
半径がα, 底の半径がb (a>b), 深さがんの円錐台をなしている. このコッ
プに半径が高さがんより大きい直円柱のガラス棒をその底面が水平にな
るように沈めるとき,排除される水の量 V が最大となるようなxを求めよ.
(広島大)
精講
xの動く範囲は0<x<a ですが,
0<x≦b においてVが最大となる
のは明らかにx=6のときなので, b≦x<a の
範囲でのVの最大値を考えれば十分です.
ガラス棒の半径xが与えられれば、ガラス棒と
コップがどの位置で触れるか決まります。
すなわち,ガラス棒の水に沈んだ部分の長さは
rで表すことができます.これにより,排除され
る水の量
V=x²x (ガラス棒の水に沈んだ長さ)
はxの関数として表されます.
このあとは,Vをxで微分します. 増減表をか
くときに, 極値となるxが定義域 b≦x<a 内に
あるか否かの場合分けが必要になります.
y
a-x
解答
0<x≦b のとき,Vは単調増加であり,Vは
z=bで最大となる.したがって, b≦x<a で考
えれば十分である.
ガラス棒の水に沈んだ部分の長さをyとすれば,
右図で,△APQS △ABC から
h
a-b
..
y=a-xh
a-b
解法のプロセス
Th
:: V = πx²y=-6x² (a-x)
ここで、f(x)=x(a-x) とおくと
f'(x)=2ax-3.x²=3x-3
2a
3x (2ª - x)
241
水に沈んだガラス棒の長さを
で表し
↓
Vをxの関数として表す
↓
V の極値となるが定義域
b≦x<a
の内にあるか否かで場合分けす
る
A/QC
P
-x-
B b
y=f'(x)
02a
3
SOT
a
第6章
x

242 第6章 微分法とその応用
2a
f(x) が極値となるx=-
・が定義域 b≦x<a 内にあるか否かで場合分けす
3
る.
(i) b≧
2a のとき,
3
b≦x<a の範囲で f'(x) ≧0
よって, f(x)はx=b で最大.
2a
(ii) 6<- のとき, f(x) は右表のように増減し,
x=2で最大.
ゆえに, 求めるxは
3
2a
12/28 <100のとき、x=2 3
1<1/12 2012/2のとき、x=6
APKYSE
1</1/6=101/2のとき
IC b
f'(x)'
JONSSO
2a
3
+ 0
研究 このとき,Vは号が1に近ければr=b で最大となり,1よりあ
る程度大きければ x > b をみたすæで最大になると見当がつく.
a 3
本問の結果より「ある程度」の境目が b
下図を参照せよ.
2
(a)
a
18> 12/3のとき
6
であることがわかった.
Y5202
標問 108
次の
3012120
演習問題
107 2辺の比が2:1である長方形を底面とする直方体が、半径r(r>0)の
>
JUEE
精
と変
とし
(2
をはく
0

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あつし

2a/3がbよりも大きいか小さいかを調べる必要があるのでそのような場合分けをしています。
x=2a/3のxとb≦x<aのxは同じxを指しているわけではありません。x=2a/3のxはf(x)の解、b≦x<aのxは定義域を表すxです（2≦x<5のような扱いと同じです。）