He waited all day までで文が過不足なく完結していて
カンマ以降が副詞のまとまりになります。
〜ingを使った形（分詞構文）
to不定詞のまとまり
どちらも副詞的な使い方ができます。
後ろにthat節を目的語に取っているので、
受動態ではなく能動態の形とわかります。
なので②③は答えにはなりません。
①か④かですが、分詞構文かto不定詞かは形の面でも意味の面でも判別できます。
カンマがあってその後ろに続けるのは、分詞構文の基本的な形なので①が答えの第一候補になりますが、to不定詞でもこういう形ありえなくはないので最終的には意味で確認します。
問題の英文だと、to不定詞は「〜するために」という目的の意味になってしまうと思います。分詞構文だと、「〜しながら」という付帯状況の意味を表せます。
よって答えは①です。
