Question

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(5)の別解なのですが、x＝-2を代入する理由と、代入後の式から最後の式への持っていき方が分かりません。

どなたか教えてくださいm(_ _)m

★★★
例題 54 3次方程式の解と係数の関係
tha.a)
3次方程式 3x+6x²-3x+2=0 の3つの解をα, β, y とするとき,
次の値を求めよ。
(1) a² +8² + y²
(4) a¹ +¹ +¹
+4
(2) (a-1)(B-1)(y-1)
(5) (a+B)(B+y)(y+a)
ET
(3) α³ + ß³ + z³

例題 54 3次方程式の解と係数の関係
3次方程式 3x+6x²-3x+2=0 の3つの解をα, b,yとするとき
次の値を求めよ。
Pan
(3) 0³ +³ +²3
(1) a² + B² + y²
(4) ^ + β^ + ya
思考プロセス
Re Action 方程式の解の対称式は, 解と係数の関係を用いよ 例題 35
例題35は2次方程式であったが, 3次方程式でも同様。
[a+B+y=[
解と係数の関係より
a+by+ya=□ α, β, y の基本対称式
laby = □
(1) ~ (5) はいずれも対称式 基本対称式で表せば解けるが,
(2)(a-1)(β−1)(y-1)
(5) (a+B)(B+r)(r+a)
(3),(4) 次数を下げる
αは の解
(5) 文字を減らす
展開すると大変
解 解と係数の関係より
基本対称式で表すのが大変なものもある。
よって
= 0 =
3α+6α²-3α+2
(α+B)(β+y)(y+α)
の式α の式 βの式で表す。
α+β+y = -2, aβ + By+ya = -1, aßy =
(1) 2 + B2 + y = (a+β+y)²−2(aβ+βy+ya)
=(−2)² -2.(-1) = 6
(2)(a-1)(B-1)(y-1)
= aby-(aB+By+ya) +(a + B+y)-1
2
- (-1) + (-2) − 1 =-8
3
3
3次式2次式
〔別解)
α, B,yは方程式 3x+6x²-3x+2=0 の解であるから
3x+6x²-3x+2=3(x-a)(x-B)(x-y)…..(* )
両辺にx=1 を代入すると
8=3(1-α) (1-β) (1-y)
(a-1) (-1)(y-1)= 8
(3)α,B,y 方程式 3x3 +6x²-3x+2=0 の解である
から
3a²³ +6α²-3a+2=0 kh ²³ = -2a²+α-²/²/²
350
3
38°+6B2-3β+2=0 より 8°= -2B2+B-
3
2
3
対等に処理する
展開して、 基本対称式
表す｡
xの係数が3であ
ことに注意する。
与えられた方程式を
て、次数を下げる。

3y +6y2 -3y +2 =0 より y=-2x2+y-
①~③の辺々を加えると
(別解)
a³ +B³+y³
=-2{6-(-1)}+3.(-/2/3)=
a¹ = −2a³+ a² -
°+β3+y°= −2(a²+B2+y²) + (a + B+y) - 2
=-2.6-2-2=-16
=(a+B+y)(a²+B2+y²-αB-By-ya) +3aBy
(4) ①より
② より
③ より
①'③'の辺々を加えると
a4+B4+ya
B4 = -2B3+B2.
よって
(a+B)(B+y)(x+α)
2
3
=-16
24 = −2y³ + y² - Y
2|32|32|3
a
2
= − 2(a³ + ß³ + x³) + (a²+ B² + y²)(a +B+ r)
4 118
= 32+6+ =
3
3
(5) α+β+y=-2より
α+β= -2-y, B+y=-2-α,y+α = -2-β
これらの辺々を掛けると
8
3
=(-2-y) (-2-α) (-2-β)
= -(a +2)(β+2)(y+2)
=-aby-2(aß+βy+ya) -4(a+β+y) -8
+2+8-8=
23
〔別解)
(*) の両辺にx=-2 を代入すると
8=3(-2-α) (-2-β) ( -2-y)
(1) a² + B² + y²
(4) a² B²+ B²y² + y² α²
(a+B)(B+y)(y+α) =
...
…..①、
8
3
3
(2) (a-2)(B-2)(y-2)
(5)
(a+β)(B+y)(y+α)
この対称式変形について
は、例題3の
Q3 + 63 + c3-3abc
の因数分解で, -3abc を
移項したものである。
(3) で ' + B3 + y°を求め
ているから 3次まで次
数を下げる。
(別解)
a^4+B^+y^
= (d2+B2+y2)2
-2(a² ß² + B² z² + y² (²)
= (d²+B2+y2)2
- 2{(aß + By + ya)2
- 2aBy(a+B+y)}
| = 6²-2{(−1)²-2(-²3) (-2)}
118
3
練習 54 3次方程式 2x+3x²-4x-80 の3つの解をα, β, y とするとき、次の
式の値を求めよ。
(3) a³+³+y³
α, β, y を対等に処理す
る。
|高次方程式

数ii ３次方程式 解と係数の関係

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

でど

別解は別解なので笑
閃くのは無理があるのが多いですよね〜

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すごい！！
なるほど
回答ありがとうございます!!
私もひらめけるように解く問題数増やして頑張ります！