Question

匿名希望

集合と論証です。
2枚目の答案に、背理法を使って｢xが正の有理数かつyが正の有理数で〜と仮定する｣とありますが、命題には書かれていない｢正の有理数｣と限定する理由を教えてください。
1枚目の説明文で事前に正の実数x,yと書かれているのにまた述べる理由はあるのでしょうか？

**
65 正の実数x,yに関する次の各命題の真偽を述べよ。 また,真ならば証明し,
ならば反例をあげよ。
[14 鹿児島大〕
(1) x が無理数かつ」が有理数ならば、その和x+yは無理数である。

65 (1)
(証明) xが正の無理数かつ」が正の有理数で, x+y が無理数でない
すなわち x+yは有理数であると仮定する。
x,yは正であるから, x+y も正である。
よって、y=
b
x+y=-(a,b,c,dは正の整数)と表せるから
a
d b
ca
ad-bc
ac
ad-bc
a,b,c, d は正の整数であるから,
ac
これはxが無理数であることに矛盾する。
ゆえに,xが無理数かつyが有理数ならば, x+yは無理数。
は有理数である。

集合と論証 数学 命題

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

maya

(1)の問題の上に、『 正の実数x,yに関する次の各命題……』と書かれており、x.yは正の実数で考えて下さいね、という、いわば｢前提｣が書かれています。(1)(2)のような各命題だけをみるのではなく、最初に書かれた指示の文の内容も見逃さないようにしましょう！✨

謎が解けたかな？

匿名希望

回答ありがとうございます。
では仮に問題に正の実数であると決められていても再び述べなくてはならない、ということでしょうか？

maya

きっと、こういうことかな、と思います。
参考になれば幸いです。ところどころ書き損じがあり、すみません。

匿名希望

詳しく説明してくださり、本当にありがとうございます🙇‍♀️
おかげで理解出来ました。

maya

理解できて良かったです！
今回のように(1)で必要な条件が、(2)で使われることがあるんだ！という視点を知りましたね！良かったです。

Answer 2

通りすがり@300BA獲得

背理法なので、仮定が成り立たないとして矛盾を導きます。x+yが無理数でない、すなわちx+yは有理数である、というところがポイントです。
無理数と有理数を合わせたものが実数なので、実数だからといって有理数であるとは限りません
無理数、有理数、実数の関係をもう一度確認してみてください。

匿名希望

回答ありがとうございます。
それは分かっているのですが、｢正の｣有理数と｢正の｣無理数と回答で改めて定義しなくてはならないのか、という疑問をお伝えしているつもりでした🙇‍♀️

通りすがり@300BA獲得

解答の4行目、x+yも正である、と言いたいから改めて書いたのだと思いますが、厳密に言えば、証明の「正の」というのは全て不要だと思います。