Question

ゲスト島田

高校数学① 確率の単元です。

(4).(5)を詳しく解説してくださると嬉しいです。

1501
2349
2799
3270
3764
$399
5003
643
040
607
15
CO
20)
二つの袋A,Bがあり, 袋Aには赤球9個 白球1個の計10個の球が入って
おり 袋Bには赤球2個,白球 8個の計10個の球が入っている。 袋AとBは
外見がそっくりで、外から袋の中身は見えない。
太郎さんと花子さんは, 無作為に袋を選び, その選んだ袋から球を無作為に取
り出すという試行について議論している。 会話を読んで、下の問いに答えよ。
花子: 袋に関しては,Aが選ばれやすいとかBが選ばれやすいとかという情
報が全くない状況では,それぞれの袋が選ばれる確率は等しく
だね。
2
太郎: 無作為に袋を選び, その選んだ袋から無作為に球を1個取り出す試行
を考えよう。
(1) この試行で、赤球を取り出す確率は
太郎: こういうことが確率
花子: 試しにやってみよう。 無作為に袋を選び, その選んだ袋から無作為に
球を1個取り出してみると・･・ 赤球が出たよ。
アイ
で起こるということだね。
p>
アイ
ウエ
ウエ
花子 : 赤球が出たということは,私が選んだ袋はおそらく袋Aだったのでは
ないかな?
太郎 袋Aだった可能性が高いね｡ もちろん, 袋Bを選んでいる可能性も否定
はできないけれども, 袋Bなら赤球を取り出す可能性はわずかだからね。
花子: いま取り出した赤球を元の袋に戻すね。 そのうえで、 元に戻した袋か
らもう一度無作為に球を1個取り出すとき、 再び赤球を取り出す条件
付き確率はいくらかな?
太郎: 選んだ袋はAの可能性が高いから,おそらくは、
アイ
ウエ
である。
を満たすよね。
花子の正確な値を計算してみよう。

16 共通テスト実創作問題 数学Ⅰ･数学A
(注) 1回目に赤球を取り出すという事を素
を運ぶという事象を」とす
ると、1回目に未球を取り出したという条件のもとで、袋Aを選んでいたとい
う条件付き確率 P (4) は
オ
カキ
であり、袋Bを選ぶという事象をBとすると, 1回目に赤球を取り出したと
いう条件のもとで、袋Bを選んでいたという条件付き確率PR (B)は
ク
Pr. (B) =
カキ
である。
PRINA)
P(R)
P.(A)==
P(RMB)
P(R)
花子:つまり、私が赤球を取り出したことによって、選んでいた袋について
の情報が少し得られたというわけだね。 さっき, 「選んだ袋はおそら
く袋Aだ」 という話をしていたけど,それを数学的に表現すると
PR.(A) >PR. (B)
201
となるね。
太郎だったら.選んでいる袋がAかBかということについて得られた情報
を加味して考えると, 2回目に赤球を取り出すという事象をR2として
p=PR. (A) PA (R₂) + PR (B) PB (R₂)
での値が計算できる気がするよ。 感覚的ではあるけれども･･･。
花子:たしかに、うまく情報を反映できている気がするね。 けど、 本当に正
しいのかな? いま立てた式の正当性を確認してみようよ。
太郎: そうだね。 感覚的なままではなんだかモヤモヤするね。
花子: 数学的にきちんと定式化して議論しよう。 かは
p=PR (R2)
ということだね。
太郎:さらに、2回目に赤球を取り出すのは、2回目に袋Aから赤球を取り
出すときと、袋Bから赤球を取り出すときの、同時には起こらない二
つの場合に分けられるね。
花子:つまり、のを空集合を表す記号として
R2=(ANR2)
ケ
(BOR₂)
(B∩R2)=の
(ANR₂)
ということだね。
コ

4
(3)
つずつ選べ。 ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
②
①
太郎: だから, pを書き換えていくと
となるね。
花子: PR (A∩R2) については
PR. (ANR2) =
共通テスト 実戦創作問題 数学Ⅰ・数学A 17
については,最も適当なものを、 次の⑩~⑥のうちから一
であることと
太郎 同様に
p=Pg, (R2)=PR, (A∩R2)+PR, (B∩R2)
PRINA)
P (R₁)
であることに注意すると
が成り立つね。
サシ
もいえるよ。
PR. (A∩R2)=PR (A) ・Pa (R2)
花子: まとめると
P(RO (ANR₂)) _P((ROA) OR₂)
P (R₁)
P (R₁)
P(RinA) ・PRina (R2)
P (R₁)
PR (BORz) = PR (B)・PB (R2)
④つ 5 n 6 U
-=PR, (A). PRICA (R2)=PA(R2)
p=PR, (A∩Rz) + PR, (B∩Rz)
=PR, (A)PA(R2)+PR, (B)・PB (R2)
がいえるね。 つまり, 感覚的に立てた式は正しかったということだね。
サシ
スセ
これを計算すると, p=
となるね。
スセに当てはまる数を答えよ。