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まず、グラフ上で4点ABCDがどういう位置関係になるのかを考えましょう！
ひとまず1つの点の位置を決めなければならないので、①上に適当に点A(t,1/2t²)をおきます。(点Aのx座標をtとおくと、①の方程式はy=1/2x²なので、xにtを代入してy座標は1/2x²となります。)
続いて点Bです。点Bのy座標が点Ａのy座標と一致するということなので、その座標は(-t,1/2t²)となります。
最後に点C,Dを考えます。今回四角形ABCDは正方形になるということですが、辺ABはx軸に平行であるため、辺BCはx軸と垂直になるということです！(四角形の各辺は垂直になるから。) よって点Cの座標は点Bと一致するため、点C(-t,1/4t²)、点D(t.1/4t²)と表せます！(C,Dは②上にあるため、②の方程式のxにtを代入してy座標を求める。)
この時点での位置関係は↓の画像を参考にしてください。
先程点Aの座標を(t,1/2t²)...☆とおいたので、このｔの値が分かれば点Aの座標が分かりますよね！ ということでtを求めます。
条件より、四角形ABCDは正方形、つまり辺ABの長さ=辺BCの長さです。
AB=t+(-t)=2t(Aのx座標－Bのx座標)
BC=1/2t²－1/4t²＝1/4t²(Bのy座標－Cのy座標)
AB＝BCより。2t=1/4t² ⇔ t²－8t=0 ⇔ t(t－8)＝0 よってt=0,8
このとき、t=0だと4つの点が全てy軸上になってしまい正方形ができないので、今回はt=8を採用します！
「☆」のところの点Ａの座標(t,1/2t²)にt=8を代入して、 A(8,32)...(答)
(3)の解説今から書くのでちょっとまっててください！
ありがとうございます！
すごく分かりやすかったです。
もし時間があれば他の問題も教えてください
(3)です！
結論から言ってしまうと、正方形ABCDの面積を二等分する線は必ず「A,B,C,Dの4点のど真ん中」を通ります！
画像の1枚目を参考にしてみてください。ということで、今回はABCDの中心の点(αとおきます)を求めます。
といってもこれは簡単で、原点を通る二次関数のグラフはy軸に対して線対称になるので、αのx座標は0。
y座標はA,Bのy座標とC,Dのy座標の中点なので、(36+16)/2=24 よってα(0,24)
(C,Dのy座標は、(2)の解説で1/4t²とおいたので、Aと同じようにt=8を代入して求めます。)
求める直線はα(0,24)とQ(4,8)を通るので、その傾きは、(yの増加量)/(xの増加量) = (4)/(-16) =-4...(答)