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A few companies are (working to make mining asteroid viable commercially)

文構造を把握します。
A few companies が主語で、are workingが動詞、
to〜以下が〜するためにという目的格の不定詞です。

まず、areに注目してみましょう。
与えられた日本語の文章を読む限り、SVCではないことが分かります。つまりbe動詞のareではないということです。A few companies が〜だでは意味が通じません。
次にareが動詞の一部ではないか疑ってみましょう。
現在進行形のare 〜ingか、受動態のare〜edのどちらかです。
今回は語群をみると、edをとった形がありません。
〜ingの形を取っているのはworkingとminingですが、力を尽くしているに最適なのはworkingですね。

並び替え問題は主語と動詞が決まってしまえば、ある程度楽になります。
あとはある程度のまとまりをつくって適切な文になるよう考えてみましょう。
今回でいえば、小惑星の発掘とあるのでmining asteroidと1つの塊をつくります。ここでのminingは動名詞です。小惑星を発掘することという意味です。
今回は塊をこれ以上見つけるのは少し難しいかもしれません。
残ったのはmakeとviableそしてさっきつくった塊のmining asteroidです。
makeはよく問題に出されます。なぜならこの動詞が
make O Cという形を取るからです。
Oは目的語(日本語のーをに当たります)
Cは補語
O とCには主述関係があります。
つまり、ーがーする、あるいはーがーされるという関係を取るということです。
make mining asteroid viableというのは
小惑星を発掘することが実行可能になるということです。
viableは実行可能なという形容詞です。
話は脱線しますが、makeのような単語はーさせるとかそういった意味もあります。この意味のmakeが英文に出てくると翻訳するのが難しいかもしれません。
直訳すると意味が通らないことがほとんどです。
そういった英文のほとんどが無生物主語構文です。
無生物主語構文というのは、その名の通り無生物を主語にとります。人ではなくてものを主語に取るということです。
この時に主語を副詞的に訳すと、とてもきれいな訳ができます。
副詞的に訳すのはどういうことかというと、
主語によって、主語のおかげで、主語のせいで、主語ならば、主語のためにという風に訳していくということです。
自分で副詞のbyであったり、becauseであったり、ifであったりを追加して訳すのと同じです。
たとえば、The heavy rain made our trip put off.
直訳すれば、その酷い雨が私たちの旅行を延期させたとなります。
しかし、makeがmake O Cという形を取り、されにOとCが主述関係を持つことが分かっていると
私たちの旅行は延期されたとなります。OとCには、受動の関係があるわけです。
さらに無生物主語構文は主語を副詞的に訳すことを知っておけば、酷い雨のせいでとなります。
延期したことはあまりいいことではないと思うので、
ここでは、ーのおかげでと訳すのはあまり良くないかもしれません。
さらにいえば、形容詞➕名詞にも主述関係があります。
つまりThe heavy rainには雨が酷く降ったという関係があるわけです。
これを踏まえれば、雨が酷く降ったせいで、私たちの旅行は延期した となります。
この辺にしときます。また長くなってしまいました。
ごめんなさい。

きのこ

補足ですが、無生物主語構文でうまく訳そうと思ったら英文を書き換えるぐらいの勢いが必要です。
それぐらい英語と日本語では言葉の使い方に違いがあります。もちろんでたらめに書き換えるという訳ではありません。
主語を副詞的に訳すのは副詞を補って訳すのと同じだといいましたが、それについての説明が不足しているかなと思いました。
まずmakeの部分ですが、主述関係を取るので私たちの旅行は延期されたとなる訳です。
でもこれだと私たちの旅行はが主語で延期されたが動詞で文章が終わってしまいます。
英語で書き換えると、Our trip was put offとなります。
でも、これだとThe heavy rainが入ってないですよね。だから、副詞を入れてMにします。
つまり、ーせいでという訳に合わせれば
Due to the heavy rain,our trip was put offと書き換えることができます。
これならM S Vの形で文が成り立ちます。
文を書き換えるというのはこういうことです。
正しいステップを追って書き換えることで自然な翻訳をつくることができます。
補足はこれで終わりです。

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