数学
高校生

なぜ赤色のマーカーで塗ったような式になるのですか?

NA (2) a, bを異なる自然数とするとき, 2点A(a,0), B(0, b) を結ぶ線分 AB (両端を除く)の上の格子点 (x座標、y座標がともに整数である 点)の個数は,α,6の最大公約数をcとすると, (c-1) 個であること を示せ. 考え方 (1) まず, ただ1つ通る有理点を考える. ここでは原点を通る直線として考える. (2) 線分ABの方程式を考え,それと a, b の最大公約数 cを考える. 沖縄 解答 (1) y=√3x(有理点(0, 0)のみ通る) (証明) (0, 0) 以外の有理点 (xo,yo) (x≠0) を るとすると, yo=√3xo このとき,√3=Mとなり,√3が有理 数となるので矛盾する. Xoy よって,(0, 0) 以外の有理点を通らない. xC (2) 線分ABの方程式は, -+%=1 (x>0, y>0) a α, 6 の最大公約数はcであるから, a=ca' |b=cb' とおける.これをAB の方程式に代入して, 一十 =1….... ① より, TOTU b'x y ca' cb' -+y=cb' Buď Fron b'x 右辺は整数,yは整数より, a' B'は互いに素より, xはα'の倍数, すなわち, x=ka' (kは自然数) とおける.同様に, y=lb' (lは自然数)とおける. これらを①に代入すると, (α′,6′は互いに素な自然数)= 背理法で示す. Xo, yo が有理数より, yは有理数 Xo 線分なので, x,yの範 囲に注意する. YA 0 B (0,6) A(a,0) k+l=c.......②おるよな自分 も整数で,α と 分数のところに着目す る. ⑤ その他=1より, C C ②を満たす自然数の組 (k, l) は, (1, c-1), (2, c-2), (c-1, 1) よって,題意を満たす格子点の個数は,(c-1) 個 である. 注) (2)の結果より, a, bが互いに妻のとき,線分 AB 上には格子点が存在しない。 XC
格子点 整数 最大公約数 自然数 focus gold

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