Question

さこ

積分に関する問題です。

①と②をイコールで結んでから、青部分の式になるまでの過程がよく分からないのでもう少し詳しく教えてください🙇🏻‍♂️

6 水の問題-
合で水を注ぐ. 水面の高さが6に達したときの水面の上昇する速さ, および水面の面積が増加する
曲線 y=e-1 (x≧0) をy軸のまわりに1回転してできる容器がある. この容器に毎秒αの割
速さをa, bを用いて表せ。
(信州大・医一後/一部省略)
ここでは、空の容器に一定の割合で水を注ぐ問題を
水の問題の解き方
扱う。登場する量は,容器の底から水面までの高さ H, 水面の面積S,水の
量Vであり,これらを時刻tの関数と考えるのが基本である.解答では,単
に耳と書いたら時刻における高さを表すものとする (他も同様).
■解答盞
注水開始時点を時刻0とし, 時刻におけ
る水面の高さをHとする.
y=e²-1のときx=log (y+1) であるから,
時刻における水の量Vは,
V = =∫"x{log(y+1)}dy
一方,毎秒αの割合で水を注ぐから,
V = at
① = ② であり,これをtで微分して,
dH
=n{log (H+1)}2-L
dt
このタイプの問題では、水の量(または水を注ぐ割合)を2通りの方法で
表すことがポイントになる.容器の底から水面までの高さがんのときの水面
の面積をS(h) とすると,体積の公式よりV=S" (h) dh.……① であり,一方,毎秒aの割合で水を
水の量V
注ぐから V = at ･････ ② である. ①= ② と, SをHで表した式から求めたいものを計算する. 水面の上
水面の面積が増加する速さは である.
昇する速さは
dS
dH
dt
dt
dv
dt
...
dH
dt π{log (H+1)}
a
dS
dt
1 dH
-=π·2{log (H+1)}·· H+1 dt
=2π'
=a
log (H+1)
H+1
a
よって, H=bのときに水面の上昇する速さは,
π{log(b+1)}
時刻t における水面の面積をSとすると, S="{log (H+1)}
であるから ④の両辺をtで微分して,
a
™{log (H+1)}'
y
H
2a
(H+1) log (H+1)
って, H=bのときに水面の面積が増加する速さは,
2a
(6+1)log (6+1)
y=e²-1
0 log(y+1)
( ③ を用いた)
水面の面積S
H
dH
dt
■水面の上昇する速さは
水面の高さHが♭に達したとき
の水面の上昇する速さを求める
dH
dt
をHで表して H = b
ので.
を代入する.
合成関数の微分法を用いる.
Hはtの関数であることに注意.
(水面の面積)×(水面の上昇速度)
11
11
™ (log (H+1)}2
dH
dt
が注水速度αに等しい, という式
である. こう考えると納得でき
るだろう.
④ 前半と同様に考える.
水面の面積が増加する速さは,
ds
dt
水面の高さHが♭に達したとき
の水面の面積が増加する速さを
をHで表して
求めるので,
dt
H=bを代入する.

積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

カルロス

「時刻tにおける水面の高さをH」としているのでHはtの関数です。単にHとしか書かれていませんが、より細かく書くとH(t)のように書けます。

Vも同様にtの関数で、細かく書くとV(t)のように書けます。

②の右辺atをtで微分したとき、aになることはご理解されていると思います。

で、②の左辺V(t)の微分ですが、

まず、正確に言うと、V=V(t)は
t ↦ H(t) ↦ ∫○○○dy［0→H(t)］
という合成関数です。

積分の中身（○○○）はyの関数であって、tは関与してないことに注意してください。

で、合成関数の微分がどういうものだった思い出していただくと

t ↦ f(t) ↦ g(f(t))

という合成関数g⚪︎f(t)をtで微分したものは

g’(f(t)) × f'(t)

でした。

で、V=V(t)をtで微分したらどうなるかですが、微積分学の基本定理で、積分の中身が出てきます。

積分の中身π {log(y+1)}^2はyの関数で、積分はyでしたものなので、yのところにHが入りπ {log(H+1)}^2となります。

これが青線部分の左辺の前半部分で、g’(f(t)) に当たるところです。

後半のdH/dtはf'(t)に当たるものです。

さこ

丁寧に解説していてとても役に立ちました。
ありがとうございます🙇🏼‍♂️