β→b として表記してます
q = (∫pᵢ⁻¹ᐟᵇdi)⁻ᵇ
ln(q) = -b･ln(∫pᵢ⁻¹ᐟᵇdi) …①
また
pᵢ = e^{ ln(pᵢ) } なので①に代入して
ln(q)
= -b･ln( ∫ [ e^{ ln(pᵢ) } ]⁻¹ᐟᵇ di )
※ [ e^{ ln(pᵢ) } ]⁻¹ᐟᵇ = e^{ -1/b･ln(pᵢ) } …②より
= -b･ln( ∫ [ e^{ -1/b･ln(pᵢ) } di )
これで偏微分すると
∂ln(q)/∂ln(pᵢ)
= -b･( ∫ [ e^{ -1/b･ln(pᵢ) } di )⁻¹×e^{ -1/b･ln(pᵢ)}×(-1/b)
= ( ∫ [ e^{ -1/b･ln(pᵢ) } di )⁻¹× e^{-1/b･ln(pᵢ)}
= (∫pᵢ⁻¹ᐟᵇdi)⁻¹ × pᵢ⁻¹ᐟᵇ ←②より
= q¹ᐟᵇ × pᵢ⁻¹ᐟᵇ
= ( q/pᵢ )¹ᐟᵇ
偏微分のところがややこしいですね
参考までに
2x = ln(e²ˣ) なので 微分すると
d{2x}/dx = 2
d{ln(e²ˣ)}/dx = (e²ˣ)⁻¹ × e²ˣ × 2 = 2
となります
