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まず２つの文章の種類から見ていきましょう。
１つ目のI know the boy playing soccer over there.は写真にも写っている通り、playing soccer over thereが boyにかかっています。これは分詞と呼ばれているものが使われた文です。
これに対し、２つ目のDo you know the boys who are sleeping under the tree.は関係代名詞が使われています。
文の種類がわかったところで、1つ目の文を分解してみましょう。I know the boy playing soccer over there．は
①I know the boy. ②のThe boy is playing soccer over there.と言う二つの文から成り立っていることがわかります。
では主さんの言う通りなぜI know the boy is playing soccer over there.にならないのでしょうか。
それはズバリ「１つの文において、動詞は2つ以上存在してはいけないから。」です。
品詞分解したときlは主語、knowは動詞、the boyが目的語です。ではisは何になるでしょうか。
動詞？いえいえ動詞はもういます。修飾語？これも違います。isから始まる修飾語なんてないんです!
つまりisはここにはいられないんですね。
あれ…？じゃあなんでplaying はいいの？と思った人、鋭いですね。確かにplay だと動詞になってしまい、文がおかしくなります。でもplaying はいいんです！「ing」から始まればそれはもう動詞としては扱われなくなり、修飾語として使われます。
ここでもう一度2の文を見てみましょう。「Do you know the boys who are sleeping under the tree.でareがあるじゃないか！動詞2つ以上はダメなんだろ!who sleepingじゃないのか？」と言う人もいると思いますが、それは間違いです。
初めに行った通り、これは関係代名詞。①の分とはルールが違います。
この文も分解するとDo you know the boys ？とThey are sleeping under the tree.に分かれます。
whoはThey are sleeping under the tree.のTheyが変化したものです。Theyがwhoに変わっただけなんだからareを抜いてしまうと、They sleeping under the tree．と言っているのとほとんど変わりません。
文の中に動詞がないと言うのもダメなので、areは抜いてはいけないのです。
よって①の分はbe動詞がいらず、②の分にはbe動詞は必要です。
そうです!どちらかと言うとwritten by her で「彼女によって書かれた」と言う意味の１つの修飾部としてthe article(論文) にかかっていっていると思います。
writtenを使った修飾でよく使う例だとa book written in English などがあります。
ありがとうございます！
とても、詳しく説明してくださってありがとうございます！分かりやすかったです。