この〜ingは分詞（現在分詞）で、〜しているところ、〜している最中、という意味があります。
なのでreserveingは、
reserveという動作をいましている最中で、それが完了していないということを指します。
（いま）予約しているところ ということだから
まだ予約が完了してないですよね。
でも
「ニューヨーク行きの飛行機を予約させる」
というのは
「予約動作を行なって、それを完了して、予約がなされた状態にさせる」
ということですから、reservingだとおかしいわけです。例えばネットで飛行機の予約を取るとして、ニューヨーク行きの当日までずっと、予約画面を開きっぱなしにしていじらないでおく、みたいなことになっちゃう。
原形不定詞の場合は、reserveという動作を開始して、それが完了するまでの一部始終を指します。
たとえば
水を流させる なら have the water running という感じで〜ingのニュアンスが合いますね。
