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(5)これは問題文に誤りがあります。
gPはfPの定義域をS2(R)に制限したものですが、その場合の終域はfPのものと同じM2(R)である;
gP:S2(R)→M2(R)
よってこれが全射とは任意のM2(R)の元Mに対して
gP(A)=M
となるS2(R)の元Aが存在する、ということになりますが、
Aが対称行列であるからgP(A)も対称行列になります(3)。
よってMとしてM2(R)の元ではあるがS2(R)でない元(対称行列でない行列)をとってくれば、
対応する対称行列Aが存在しないことになり、全射ではなくなります。
よってgPは全射であることはありえません。

ですから問題文は終域もS2(R)に制限したものをgP'とすると
gP'が全射になることとPが可逆であることが同値であることを示せ。
とするべきです。

以下、修正した問題に対しての回答をします。

gP'が全射
⇔gP'の表現行列(で定まるR^3→R^3写像)が全射
⇔gP'の表現行列(で定まるR^3→R^3写像)が全単射
⇔gP'の表現行列が可逆
⇔gP'の表現行列の行列式が0でない

となるので、(4)で得られた表現行列のdetを計算すれば示せます。
---------
上の方法は次元が小さい場合には実際に計算で示せるが、一般のn次対称行列の場合では使えない解法である。
一般のSn(R)でも使える解法として以下のようなものが考えられる。
入力の都合上、行列Mの転置行列をM'と表記することにする。

gP'が全射⇒Pが可逆
を示す(逆は明らか)。
gP'が全射
⇔任意の対称行列Bに対してP'AP=Bとなる対称行列Aが存在する。
特にB=I(n次単位行列)として
P'AP=I ①
となる対称行列Aが存在する。
P=(x1 x2 x3 x4 ,,, xn)とする。(各xiはn次の列ベクトル)
P'AP
=(x1 x2 x3 x4 ,,, xn)'(Ax1 Ax2 Ax3 Ax4 ,,, Axn)
となるので①の両辺の(ij)成分をとると
xi'A xj = δij ② (δijはクロネッカーのデルタ)
このときxiたちが一次独立であることを示す。
Σ[j=1~n]aj xj=0 のとき
左からAを掛けたのち、さらに左からxj'をかけると
Σ[j=1~n] aj xi'A xj=0
②を用いると
Σ[j=1~n] aj δij=0
ai=0
これがすべてのiで成り立つからxiたちは一次独立。
よってPは可逆。

対称行列 合同変換 表現行列 線形代数 2次形式
Crystal Clear

訂正

さらに左からxj'をかけると

さらに左からxi'をかけると

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