基本例題 8 約数の個数と総和
540 の正の約数は全部で何個あるか。 また, その約数の和を求めよ。
指針正の約数の個数や和についての問題では,素因数分解からスタートする。
また, 0でない実数に対し p=1 と定義される (数学ⅡIで学習)。 このことも利用し
て, 12 すなわち2・3の場合で考えてみよう。
解答
検討
12の正の約数は 2.3% (a=0, 1,2;6=0, 1) の形で表され,その個
数は、右の樹形図から
20-30, 20-3¹, 2¹.30, 2¹.3¹, 2².30, 2².3¹
の6個あり,これらのすべての和は
2° 3°+2°・3' +2'・3° +2'・3' +2・3°+2・31
=2°(3°+3') +2'(3°+3') +22(3°+31)
540=22･33･5であるから, 540 の正の約数は,
a=0, 1, 2;6=0,1,2,3; c=0, 1
として 2･3・5° と表される。
(約数の個数) αの定め方は3通り。
そのおのおのについて,6の定め方は4通り。
更に, そのおのおのについて,cの定め方は2通りある。
よって,積の法則により
3×4×2=24 (個)
( 約数の和) 540 の正の約数は
(1+2+2²)(1+3+3²+3³)(1+5)
......
を展開した項にすべて現れる。 よって, 求める和は
(1+2+2²)(1+3+3² +3³)(1+5)
=7×40×6=1680
2⁰=1
3°=1
5°=1
2⁰.
22.
約数の個数と総和(第4章でも学習する)
自然数Nを素因数分解した結果がN = pag're であるとき, Nの
=(2°+2'+22)(3°+31)=(1+2+22)(1+3)
つまり, 22･3の約数は を展開したすべてに現れ, もれも重複もない｡ したがっ
て, 約数の個数は, 多項式を展開したときの項の数 [基本例題 7 (2)] と同じになる。
よって, 22･3の約数の個数は (2+1)x(1+1)=6 これと同様に考えればよい。
基本7
2)540
2) 270
3) 135
3 45
3) 15
5
-3⁰
-3¹
30
-3¹
-3°
-3¹
< (*) を展開したときの
項の数を求めることと同
じ。なお、
2×3×16 (個) のよう
な誤りをしないように。
正の約数の個数は (a+1) (6+1)(c+1)
正の約数の総和は(1++
(1+g++α)(1+r++r)
+p)
正の約数の個数や和を求める問題では, 素因数分解をした後に,このことを直接利用した
解答でもよい。
例えば、上の例題の約数の個数は (2+1)(3+1)(1+1)=24(個) のような解答でもよい。
考え方は上の解答の 約数の個数) と同様。
[練習
1400 の正の約数の個数と、 正の約数の和を求めよ。 また, 1400 の正の約数のうち偶
②8 数は何個あるか。
p.357 EX7
