Question

陽翔

中1男子です
幼稚園の頃から公文式をやってきて今年で8年目になります
どこから崩していけば良いのかわかりません
解説付きで全てお願いします

© 2016 Kumon Institute of Education KIE KIE 2016 JP
N99a
1. 数列{an}:
について、
10. 無限級数 (25点引き)
3
4
5
6
1･2･2'' 2･3・22' 3・4・23' 4･5・24'
(1) 一般項 α
(2) 2"a,=
b
n
KUMON
月日
以下の問いに答えよ。
をnの式で表せ。
C
n+1
氏名
を満足する定数 6, c を求めよ。
分
N 99
[首都大学東京]
(3) 初項a, から第n項までの和S, および極限値 lim Sn を求めよ。
81-90

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

高橋

大学入試レベルですがいいんでしょうか…

(1)
分子と分母それぞれについて、規則性を見つける。
a(1)の分子：3、a(2)の分子：4、a(3)の分子：5、…　⇒　a(n)の分子：n+2
a(1)の分母：1×2×2^1、a(2)の分母：2×3×2^2)、a(3)の分母：3×4×2^3、…　⇒　a(n)の分母：n×(n+1)×2^n
よって、a(n)＝(n+2)/n(n+1)2^n
------------------------------

(2)
(1)より、2^n･a(n)＝(n+2)/n(n+1)
2^n･a(n)＝b/n　+　c/(n+1)より、b/n　+　c/(n+1)＝(n+2)/n(n+1)
分母を払うため、両辺にn(n+1)を掛ける。
b(n+1)+cn＝n+2
bn+cn+b＝n+2
(b+c)n+b＝n+2
これはnについての恒等式なので、係数同士が等しい。
b+c＝1、b＝2
よって、b＝2、c＝-1
--------------------

(3)
(2)より、2^n･a(n)＝2/n　-　1/(n+1)
両辺を2^nで割ると、
a(n)＝2/n･2^n　-　1/(n+1)2^n＝1/n･2^(n-1)　-　1/(n+1)2^n
ここで、b(n)＝1/n･2^(n-1)とおくと、b(n+1)＝1/(n+1)2^nと表せるので、a(n)＝b(n)-b(n+1)
S(n)＝a(1)+a(2)+…+a(n-1)+a(n)
＝{b(1)-b(2)}　+　{b(2)-b(3)}　+　…　+　{b(n-1)-b(n)}　+　{b(n)-b(n+1)}＝b(1)-b(n+1)
b(1)＝1/1･2^(1-1)＝1
よって、S(n)＝1-1/(n+1)2^n
n→∞のとき、(n+1)2^n→∞だから、1/(n+1)2^n→0
よって、lim(n→∞)S(n)＝1

陽翔

ありがとうございます！
理解できました！！