Question

もゆな

解き方を教えてください。

22:39 1
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完了
kiso-report-on-diff 2.pdf Q
下村克己
1) 以下のロピタルの定理について下の各問いに答えよ。
定理 f(x),g(x) を点αで微分可能とする。 さらに、
レポート問題 (微分)
f'(x)
lim f(x) = 0 = lim g(x) and s.t. lim =l
x→a
x-a
rag'(x)
と仮定する。 このとき
f(x)
lim
x→a g(x)
x→a g'(x)
(i) 下の証明の概略の下線部分がなぜ正しいのか根拠を書きなさい。
証明の概略 æ>aの場合だけを証明すればよい。。 Cauchy の平均値
の定理の仮定をみたす ので、
b
問題 極限 lim
x-0
(a <c<x)
(1)
が成り立つ。 f(a)=0= f(b) が成り立つので、(1) 式の両辺に lim
を施せばよい。d
x-a
□
f(x) - f(a)__ f'(c)
=
g(x) = g(a) g'(c)
(ii) 次の問題について、 解答の等号 (=) に理由をつけてください。また、
最後のロピタルの定理が使える理由も述べなさい。
sin (sin)
を求めよ。
x
解答 lim sin (sin -
z) = 0, かつ lim x=0であり、
x→0
lim
x→0
=1(= lim
TX
T
1
cos (sin cos = x
- - - -
π
= lim
x-0
π
sin sin
(TX)
だから、 ロピタルの定理より、
lim
0fm
i=0
sin (sin-7) –
=
TI
1
=
(ii) 関数 f(x) が0を含む開区間で何回でも微分可能とする。 さらに、そ
の開区間では
f(x) = a₁x² (= ao + a₁x + a²x² + ...).
1

(ai ∈ R は定数) と表せるとする。 このとき、
f(n) (0)
n!
(VneN)
となることを確かめてください。但し、N = {0,1,2,... } は 0 以上の
整数の集合を表す。
=
an

解き方教えてください。 結論