全くの別人です。
メアリ1世はエリザベス1世の異母姉で、その母親はスペイン王妃です(2人の父ヘンリ8世とスペイン王妃の離婚問題がイギリスの宗教改革に繋がったという話は頻出です)。
メアリ・スチュアートは、イングランドの隣国スコットランドの女王です(当時はまだ別々の国でした)。彼女はスコットランド内の政争で命を狙われ、エリザベス1世のもとに亡命します。当時の両国は、お互い良好な関係とは言えませんでした。イングランドが先々代のヘンリ8世の宗教改革によりカトリックを離れたのに対し、スコットランドはカトリックが主流だったこと、またメアリ・スチュアートがイギリス王位を狙っていたこともあり、イングランド国内でメアリ・スチュアートを危険視する声が多かったのですが、エリザベス1世は彼女を受け入れました。しばらくして、エリザベス1世の暗殺計画が露呈し、それにメアリ・スチュアートが関係していたことがわかりました。さすがにエリザベス1世は彼女を庇いきれず、メアリ・スチュアートは処刑されました。
余談ですが、エリザベス1世は生涯結婚をせず、子供がいなかったため、ヘンリ7世から計5代続いたテューダー朝は断絶しました。新たな王として迎え入れられたのは、スコットランド王ジェームズでした。彼はイングランドとスコットランドの同君連合の王として、ジェームズ1世と名乗りました(スチュアート朝)。彼の母親はなんとメアリ・スチュアートです。イングランド王位を狙っていたメアリの無念がこのような形で晴らされるのは皮肉なものです。
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