Question

あーお

数3の微分です！接線系の問題です
赤いマーカーが引いてある所の因果関係がわかりません。
解説していただけると幸いです🙇‍♀️

点 (1, α) から曲線 y=ex へ異なる2本の接線を引くことができるようなaの値の
x
範囲を求めよ.ただし,必要であれば, lim- -=0を用いてよい.
x
X→∞

10-3
y=ex より,
y'=ex.
曲線上の点(t, e) における接線の方程式は,
y-e²= e(x-1). -ette²
y-e=ex-t).
ter
y=e¹x-(t-1) e*.
-t-yet-
点 (1, α) を通るとき,
a=e'-(t-1)e*
= ettet fet
すなわち,
a = (2-t)e'.
ここで、 ①の右辺をf(t) とおくと,
f(t)= (2-t)et
より 2本の接線を引くことができるためには, ① より,
曲線 u = f(t) と直線 u = α が異なる2つの共有点をも
てばよい.
よって,
f'(t)= (2-t)'e¹+(2− t)(e¹)'
=-e²+(2-t) et
=(1-t)e*
より, f(t) の増減は,
t
1
f'(t) +
0
f(t) 7
f(1)=e,
limf(t)=lim(2-t)e'=-∞,
118
2+s
limf(t)=lim (2+s)e=lim
(
4-8
818
(-t=s とおいた)
よって, u=f(t) のグラフは次の通り.
u
u=f(x)
2
e
2
0
840
1
-=lim
eⓇ 8-00
2
+
10 )
=0.
したがって, グラフより求めるαの値の範囲は,
0<a<e.

微分 接線

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

高橋

2本の接線を引くことができる
→接点が2つ存在する
→接線の方程式を満たすtの値が2つ存在する
→①が異なる2つの実数解を持つ
→①の両辺をそれぞれグラフに表したとき、異なる2つの共有点を持つ

あーお

ありがとうございます！