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なぜhaveの後にnoがつくのですか? don't haveではダメなのでしょうか?
→ don't have any alternative であればダメではありませんが、have no alternative but to ~(~する以外に手段がない、~するしかない)の慣用表現として覚えておくのが一番良いと思います。
類例:have no choice but to ~ ~する以外の選択がない、~するしかない
※but:前置詞で、「…以外の・に」の意味があります

参考にしてください。 

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"don't have ~" より "have no ~" の方が違和感がないからではないでしょうか。
例えば、「これは有料じゃないです。」というよりも「これは無料です。」の方がしっくりきます。

ちなみに、僕は程度の強さとして
few[little] 名詞 < scarcely[hardly] 名詞 < no 名詞
とおぼえています。

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