Question

ピッピー

一対一対応の数学Ⅱの質問です。写真3枚目の赤線の部分がなぜそうするのかよく分からないので教えてください。

主彩でについて成り立つ条件は,①の左辺=0の判別式をDとすると,D<0で
ある。よって,
DI4=(ac+bd+1)?-(α°+6?+1)(c?+d°+1)s0
○16 演習題(解答は p.30)
(ア)a, b, c, 2, y, z を実数とする。
(1)(a°+6°+c")(z2+y°+z?)>(az+by+cz)。が成り立つことを示せ、
(2)ェ+y+z=1のとき, z'+y+2? の最小値を求めよ。
(イ)a, 6, cを α'+6?+c?=1 を満たす実数とすると, a+b+cの最大値は 口であ
文字定数を分離す
(ア)(2)のために(1)
の等号成立条件も調べて
おく。
(イ) コーシー·シュワ
ルツをどう使うか?
(福岡教大)
(2)で,(1)を利
らには?
(関大·理系)
る。
23

したがって,
a+6?+c?=1のとき, 32(a+b+
==…=a,
=9A
A3+ B°+C®
e+、+)2l0tなります。 したがって
が成り立つ、エ=y=z=1として、
うため,Va
3
16) (ア) (1) (左辺)- (右辺)を2乗の和の形
にする。(2)のために, (1)の段階で等号成立条件も調
べておく。
(イ)4 6, cについて対等な式はしばしばa=b=cで
最大値や最小値をとる。これを知っていると答えの見当
がつくし,穴埋め問題で時間がなければ,これを使って
のときに成り立つ.
(等号はa=b=cのとき)
A3+ B3+C3-
が成り立つ。
ヒ示せばよいです. こ
A3+ B3+C3-3
=(A+B+C)(A
.-(3Sa+b+cs5
=(A+B+C)
×((A-B
右側の等号は, a=b=c=-
'3
20
V3
ですから,④が成り
のときに
3
求める最大値は/3
3
等号は, A=Bz
答えを埋めておこう.本間の場合, a=b=c="
のとき,つまり A
ときのa+ó+c=/3が最大値と予想できる。
このように,3
合はDからすぐ元
30

静 (ア) (1)
ay- br=0 かつ bz-cy=0かつ az-ca=0
=a+ay°+a?z2+6°x+8?+が2
O-の=a'y?+a'z?+6°z?+6°2?+c¢+
=(ay-br)?+(bz-cy)*+(az-cz}
(+68+c")(a?+g?+?)
(a+6°+c°)(z?+y?+z°)>(ar+ by+cz}.
+c°r?+c'y?+c2?
のにより,○, 口を
2VO×
2
○+ロ
ミニ講座-1
相加平均之相乗平均
(ar+by+cz)?
=az+6°y°+c2?
+2abzy +26c/z+2cazz
が成り立つので, a~
a+b+c+d
2
4
であるから,
2//ab
(等号は,a=b
a=b=c=dの一
-2abry-26cyz-2cazz
一般に,正の数について, 「相加平均之相乗平均」 が成
り立ちます。教科書に公式として載っているのは, 2数
=(ay?-2abzy+6°z?)
+(2?-2bcyz+c'y3)
+(a°z?-2caza+c)
が導かれます。
この4数の場合を
の場合で、
a+b
-2Vab
2
な(?)方法がある。
a>0, b>0のとき,
a+b+c
d=
…の
(等号はa=bのとき成り立つ)
C
3
よって,
です。3数の場合は,
として,☆に代入
-2
a+b+c
-Vabc
3
a~cが正の数のとき,
このとき,a+E
が成り立つ。等号は,
a+b+c+d
(等号はa=b=cのとき成り立つ)
4
であり,n数の場合は,
のとき,つまり
a:b=x:yかつ6:c=y:zかつc:a=z:r
3d+d
は、
a~anが正の数のとき。
a,tazt…+an
4
: a:b:c=I:y:z
d42abc
のときに成り立つ.
(等号は a=a2=…= a,のときに成り立つ)
: d2Vab
a+b+
(2)エ+y+z=1……④ のとき,
-2
となります。
ここでは,これらの不等式の証明を考えてみましょう。
のは,(左辺)-(右辺)20を示せばよく,
3
3でa=b=c=1とすると,
3(z+y?+z°)2(z+y+z)?=1
この方法をま
-lab-(G-520
a+b
: +y?+2?2。
1
2
☆は4数の場
3
のもこの方針で示すことができます。3乗根を回避す
るため,Va=A, V5=B, Vc=Cとおくと, ②は
場合は,☆と
き)
等号は,:y:z=1:1:1かつの
同様にして,
1
r=y=z=-
3
A3+ B°+C3
3
n=16
-NABC
の場合を示すこ
となります。したがって,
A3+ B3+C3-3ABC20
を示せばよいです。ここで,
A3+B3+C3-34BC
=(A+B+C)(A°+B?+C?-AB-BC-CA)
のときに成り立つから, 求める最小値は。
よります).
次に,一般
(イ)コーシーシュワルツの不等式により,
(a?+6°+c?)(22+y?+z°)2(az+by+cz)
が成り立つ,エ=y=z=1として。
3(α°+68+c)2(a+ó+c)?
(等号はa=b=cのとき)
a
aN=
とおくと, n=
=(A+B+C)
小
n=13 のとき
×(A-B)?+(B-C)8+(C-A)}
n=16
が成り立つ。
と示される右
20
a+68+c=1のとき, 32(a+b+c)*
. -/3sa+6+cミ/3
右側の等号は,
ですから,④が成り立ちます。
等号は,A=Bかつ B=CかつC=A
のとき,つまりA=B=Cのときに成り立ちます.
のときに成り立つが
3
V3
a=b=c=
このように,3数の場合はやや難しいですが, 4数の場
合は①からすぐ示せます。
求める最大値は(3

コーシーシュワルツの不等式

Answer 1

ダンシングクイーン

(ア)の⑵は、典型的な「⑴の誘導を利用する問題」です。⑴の不等式が成り立つことが⑴で示されたので、⑵ではその不等式を使って（誘導に従って）問題を解こう、という流れです。そう考えれば赤線部のような場合を考えるのは当然かと。
(イ)は、コーシーシュワルツの不等式を誘導なしで用いる問題です。コーシーシュワルツの不等式が頭の中にあり、右辺のax +by +czについて、x＝y＝z＝1の場合を考えれば、「a+b+c」についての不等式がそのまま得られますよね？赤線部に関してなら、これだけの事です。