考え方としては、「晴れだから気圧が高い」のではなく、「気圧が高いから晴れる」のです。
気圧が高いところは空気の層の厚いところです。
地上の空気は気圧の高いところから気圧の低いところへ流れますが、高気圧圏内では下降気流になります。
空気中に含むことのできる水蒸気の量(飽和水蒸気量)は気温が高いほど多いですが、空の上より地上の方が気温が高いので、空の上から降りてきた空気も暖められ、雲は消えてしまいます。
つまり気圧の高いところでは、下降気流があるため、飽和水蒸気量の増加により、相対的に空気が乾燥して晴れるのです。