Question

ゆあ

これは何をしてるんですか？
大まかな流れを教えてください。

あり,辺BC上に点Eを辺BCと線分AE
() 右の図3のような平行四辺形ABCDが
垂直に交わるようにとり,辺AD上に点F
右の図3のような平行四辺形ABCDが
30:OAケ
図3
あケ治交S4
AF
D
をAB=AFとなるようにとる。
また、線分BFと線分AEとの交点をG、
H
IG
線分BFと線分ACとの交点をHとする。
AB=15cm, AD=25cm, ZBAC=90°の
とき、三角形AGHの面積を求めなさい。1)お
B
E
C
3次

4
(cm) AABEと△CBAにおいて,仮定より,ZAEB=ZCAB…(i) ZABE=ZCBA(共通
(ウ) AABCで, 三平方の定理により, AC"=BC?-AB?=252-152=400 AC>0より, AC=D2)
15=3:5 BH: HF=BC: AF=25: 15=5:3 よって, BG:GH:HF=3:2:3より, GH
CB AE:20=15:25 25AE=300 AE=12(cm) BE:BA=AB:CB BE:15=15:25
25BE=225 BE=9(cm) AD//BCより,三角形と比の定理により,BG:GF=BE:AF=9:
:BF=2:(3+2+3)=2:8=1:4 △AGHと△ABFは底辺をそれぞれGH, BFとみると
1
が等しいから,面積の比は底辺の比になる。.したがって, △AGH=-AABF=
-X AFX
4
4
AE)=Dxは×15×12)=D5 (cm)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

まず△ABEと△CBAの相似を示しています。
相似だと示せたら
AE:CA=AB:CB=BE:BA
だとわかります。
ABとCBは与えられた条件から求められるので
(AB=15、CB=25(=AD) [∵平行四辺形の対辺] )
AE:CA=BE:15=15:25
となります。

解答では、最初に三平方の定理でCA=20を求めているのでAE:20=15:25よりAE=12です。
さらに、BE:15=15:25でもあるからBE=9です。

ここまでが大まかに前半で、ここまでの情報を図にしたのが1枚目です。解答ではごちゃごちゃと書いていますが、記述式解答ではなくて最終的な答えだけを書く解答ならきちんと相似であることを示す必要はないと思います。そもそも、この相似形は有名なので、ある程度経験があればすぐに相似であることは気づきますし、3:4:5の有名な比なのでまともに比の計算をしなくても暗算で解けます。それを文字に起こしているからややこしく見えるだけです。

この後は、写真2枚目の2つの相似形に着目することで、
BG:GF=3:5 (オレンジ)
BH:HF=5:3 (ピンク)
と求まるので
BG:GH:HF=3:2:3
と分かります。

ここで、△ABFの面積は、AFを底辺と見れば、高さをAEと見ることができるので1/2×15×12となります。
一方見方を変えて、今度は△ABFの底辺をBFとみなすと、求めたい△AGHと△ABFの高さは共通となるから、底辺の比=面積比となるので
△AGH:△ABF=GH:BF=2:8
となります。

したがって、
△AGH=1/2×15×12 と
△AGH:△ABF=2:8
を用いてやると
△ABF=45/2となります。

ブドウくん

3枚目の写真を添付し忘れていました。

ブドウくん

平面図形の問題としては良くある普通の問題だと思います。逆に言えば出やすいということでもあるので、良く復習しておくとよいと思います。

ゆあ

ありがとうございます