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(4)でスイッチを開いた瞬間、コンデンサーに電荷は蓄えられていません。
電荷0でスタートして、図の向きに電流が流れ始めるので、初めはコンデンサー下側極板が+になります。
模範解答では交流になることを前提にωを置いていますが、一応キルヒホッフ第二法則を経由した別解を書いておきます。
コンデンサーに蓄えられる(下側極板の電荷を正とした時の)電荷変化のグラフは写真一番下のようになります。
物理
高校生
解決済み
(4)についてです。
(4)でスイッチを開いた瞬間はコイルの電磁誘導によって電流が流れ続けるというのはわかるのですが、コンデンサーに蓄えられていた電荷はどうなるのですか。
(5)の解説にはコンデンサーの下側がプラスになっているのですが、スイッチが閉じている際に溜まった電荷であれば、コンデンサーの上がプラスではないのですか。
138.〈電気振動と電磁波の発生〉
図のように,起電力 E[V](E>0) の電池, 抵抗
値R[Q]の抵抗,電気容量 C[F] のコンデンサー,
インダクタンスL[H] のコイルからなる回路が
ある。コンデンサーには,電圧計が図に示した極
性でつながれている。また, 2つの電流計が接続
されており,それぞれの電流値I[A] と Ia[A] は、
図の矢印の向きを正とする。初め,スイッチSは
開いており,コンデンサーは帯電していない。ま
たムとIaはともに0であった。電圧計を流れ
る電流は無視できる。また,配線に用いた導線の抵抗, コイルの直流抵抗,および電池と電
流計の内部抵抗は無視できる。次の問いに答えよ。ただし, (10)以外では電磁波の発生は無視
I
E
R
する。
まず最初に,スイッチSを閉じた。
(1) その瞬間のIと Izの値を, L, C, R, Eのうちの必要なものを用いて, それぞれ表せ。
スイッチSを閉じてからしばらくすると, ILとIaは一定値になった。
(2) この状態における Lと Izの値を,L, C, R, Eのうちの必要なものを用いて, それぞれ
表せ。
(3) この状態において, コイルに蓄えられているエネルギーと, コンデンサーに蓄えられてい
るエネルギーを, L, C, R, E のうちの必要なものを用いて, それぞれ表せ。
次に,スイッチSを開いたところ, 回路に電気振動が生じた。
(4) スイッチSを開いた瞬間のI,と I,の値を, L, C, R, Eのうちの必要なものを用いて、
それぞれ表せ。
(5) 電気振動の周期T[s] を求めよ。
6) スイッチSを開いた瞬間の時刻を0として, 電流値I」を時刻t[s] の関数として求めよ。
ただし、電流の最大値をI。[A] とし, 答えはI。とTを含んだ式で表せ。また、 Iムとtの関
係をグラフにかけ。なお, 縦軸には電流の最大値I。を示せ。
リコイルに蓄えられているエネルギー U「J] を時刻 tの関数として求めよ。答えは Ioと
Tを含んだ式で表せ。
お,縦軸にはエネルギーの最大値ひU。【J] を示せ。
(3) コイルとコンデンサーは並列なので(コンデンサーの電圧)3(コイルの電圧)=0
(4) スイッチを開いた瞬間 → コイルの自己誘導により電流が流れ続ける
一方,コンデンサーの電荷は0だから電位差は0である。キルヒホッフの法
138〈電気振動と電磁波の発生)
OL)
C
i6) I-t 図を先にかいてから式を求めるとよい。
(8) Ucの式は,エネルギー保存則から求められる。
(1) スイッチを閉じた瞬間,コイルは自己誘道により電気抵抗がcoと考えてよ
いので電流は流れない。
(1) スイッチを閉じた瞬間
Iム=0A
R
則Iより
E-0-RIz=0
よって I=
R
号(A)
(2)十分時間がたつと
II2=0
(2) スイッチを閉じて十分時間がたっと、コンデンサーの放電が完了し,コンテ
ンサーには電流が流れない。すなわち I=0A※A←
一方,コイルの自己誘導はなくなり、コイルは導線と考えてよい。よって
E
R
断線
E
E-0-RI=0
ゆえに ム=(A]
全※A コイルの電位三
となり,並列につなが
ンデンサーの電位差も
っている。
スイッチを閉じてか
時間がたつまでに,ニ
サーには充電電流が行
その後,放電電流がこ
最終的には,電荷が
コンデンサーの電位
なって安定する。
R
(3) コイルに蓄えられるエネルギーUL[J]は「Uぃ=→LIP」より
LE?
U
2R2
コンデンサーに蓄えられるエネルギー Uc[J]は 「Uc=CV?」 より
をh
なーc-cxe=
I。
(4) スイッチを開いた瞬間, コイルは自己誘導によって電流
が流れ続け,右図のような回路になっている。コイルには
L
E
I。
(2)の電流が流れているので ム=ー[A]
R
導線
=ー号(A)
また,キルヒホッフの法則Iで, ム+Ie=0 より
I=-ム=-
(5) 振動電流の角周波数をω[rad/s]とする。図のように,回路に流れる電流を
『LAJ, その最大値を Io[A] とすると,コイルの端子電圧の最大値 VLo [V],
コンデンサーの端子電圧の最大値 Vo [V] はそれぞれ
R
L
1
1
三
oC
VLo=oL·Io, Vco=-1o また, Vio=Vco であるから oL=
2元
T=-
の
ーI
ゆえに
ビ-2元、LC [s]
よって,周期 Tは
の=-
VLC
(6) スイッチを開いた瞬間の電流は最大値
Io[A]であり,その後電流は減少してい
くから,そのグラフの概形は右のような
+cos 型である。
また,このグラフの関係式は
Io
一※B 問題文は,式を求め
グラフをかけという指示だが、
グラフをかいてから式を求め
るとわかりやすい。
先に式を求めるならば、電
流の瞬時値をIとおくと、
0
T
t
※B=
ム=locosot=I.cos(等り(A)
2元
ム=ムsin(等+る)
とおける。t=0 のとき, 電
流は最大なので
sind=1 つまり 8=
(7) (3) と(6)の結果より
U(t)=→LI cos(等りJ)
(8)電流の最大値は I。であるから, エネルギ Uct
Uo-
AAY
ーの保存より U(土)+Uc(t)=D→LI?
U。
2
よって Uc()=LIーU、(t)
sia(P+号)
0
T
2
T
t
=cos 0 の関係よ
2
り求めるIは
2元
"cos
ム=Iocos(等)[A)
グラフは上図。
) コンデンサーの最大電圧を Vo[V] とすると, エネルギー保存則
T
合※ C [参考] コイルから
の電磁波の発生について詳し
く説明すると次のようになる。
初めにコイル内には電流
ムによって磁場が生成され
ているが, ILが減少を始める
と,自己誘導によって,この
磁場の変化は妨げられ,その
ためコイル内には誘導電場が
ループ状に生じる。これがコ
イルに生じる起電力の原因に
なる。ムが振動を始めると,
それに伴いコイル内を貫く磁
場は向きと大き道面
「P+cv-一定」より +0-0+c
L+0=0+-CV
6=l/-
スイッチを開いた瞬間のコンデンサーの
電圧は0であり, 時間がたつと電圧計の+
端子側の電位が下がるから, そのグラフの
既形は -sin 型である。
よって,求める関数は
よって
Vo
0
T
横から」
一初めに
発生したB
B
B
B
L
-sin
~E
EU
コイルを貫く磁場が振
して変化すると,その
0=1
t=3
T初めのE
t=T
上から
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