Question

よっしー

青チャートA 整数問題です。
合同式を使用して(3)までできたのですが(4)が分かりません。合同式を使用した解法教えてください🙏

486
C OOOO
基本 例題116 割り算の余りの性質
a, bは整数とする。aを7で割ると3余り, bを7で割ると4余る。このとき。
次の数を7で割った余りを求めよ。
本
(4) a2019
(1) a+26
(2) ab
(3) a
p.485 基本事項 [], [3
指針> 前ページの基本事項園の割り算の余りの性質 を利用してもよいが, (1)~(3) は,
a=7q+3, b=7q+4と表して考える基本的な方針で解いてみる。
(3) (7q+3)*を展開して, 7×○+▲の形を導いてもよいが計算が面倒。 a*=(α')* に着目
し,まず,α' を7で割った余りを利用する方針で考えるとよい。
(4) 割り算の余りの性質4 α"をm で割った余りは, rm を m で割った余りに等しい
を利用すると,求める余りは 「3%019を7で割った余り」であるが, 32019 の計算は不可能。
このような場合,まず α" を m で割った余りが1となるnを見つけることから始める
のがよい。
A=BQ+Rが基本
(割られる数)=(割る数)× (商)+ (余り)
CHART 割り算の問題
解答
a=7q+3, b=7d+4(q, q'は整数)と表される。
(1) a+26=7q+3+2(7q'+4)=7(q+2q')+3+8
別解 割り算の余りの性質
利用した解法。
(1) 2を7で割った余りは
2(2=7-0+2) であるか
26を7で割った余りは
2.4=8を7で割った余り
に等しい。
ゆえに,a+26を7で割
た余りは3+1=4を7で
割った余りに等しい。
よって,求める余りは 4
(2) ab を7で割った余りは
34=12 を7で割った余り
に等しい。
よって、求める余りは 5
(3) α'を7で た余りは
3=81 を
に等し
よっ
くtpd=
=7(q+2g'+1)+4
したがって,求める余りは
(2) ab=(7q+3)(7q'+4)=49qq'+7(4q+3q')+12
=7(7qg+4q+3q'+1)+5
したがって,求める余りは
(3) α=(7q+3)°=49q°+42q+9=7(7q°+6q+1)+2
よって, a'=7m+2(mは整数)と表されるから
a*=(a°)°=(7m+2)°=49m°+28m+4=7(7m'+4m)+4
したがって,求める余りは
(4) αを7で割った余りは, 3° を7で割った余り6に等しい。
よって,(α°)?=a°を7で割った余りは, 6°=36 を7で割った
余り1に等しい。
a2019-a2016g°=(α°) 36. g° であるから, 求める余りは,
1336.6=6 を7で割った余りに等しい。
したがって,求める余りは
4
5
4
余り
6
練習
a, bは整数とする。 aを5で割ると?金り
110

青チャート数学a

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

えだまめ🫛

mod 7のもとで

3¹ ≡ 3
3² ≡ 3･3¹ ≡ 2
3³ ≡ 3･3² ≡ 3･2 ≡ 6
3⁴ ≡ 3･3³ ≡ 3･6 ≡ 4
3⁵ ≡ 3･3⁴ ≡ 3･4 ≡ 5
3⁶ ≡ 3･3⁵ ≡ 3･5 ≡ 1 ←1が出た

a²⁰¹⁹
≡ 3²⁰¹⁹
≡ 3⁽⁶˟³³⁶⁺³⁾
≡ 3⁶˟³³⁶･3³
≡ (3⁶)³³⁶･3³
≡ 1³³⁶･3³
≡ 3³
≡ 6

こんな感じです

よっしー

こういう形式の問題は余りが1を出すことを目的にして計算していけばいいんですね！1▶️なん乗しても1だから ご丁寧にありがとうございます😊