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一例です
●分子を考え、1+2+3+・・・・・・+n=(1/2)n(n+1)=n(n+1)/2 なので
1,1/(1+2),1/(1+2+3),・・・・・・,2/{n(n+1)}
●また、2/{n(n+1)}=2[1/{n(n+1)}]=2[{1/n}-{1/(n+1)}なので
以下のように書き換え、
2[(1/1)-(1/2),(1/2)-(1/3),(1/3)-(1/4),・・・,{1/n}-{1/(n+1)}
その和を考えると
2[(1/1)-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)+・・・+{1/n}-{1/(n+1)}
と、間の (1/2),(1/3),(1/4),・・・,(1/n) が±0となり
=2[(1/1)-{1/(n+1)}]
=2[n/(n+1)]
=2n/(n+1)
確認
n=1のとき、2・1/(1+1)=1
n=2のとき、2・2/(2+1)=4/3、1+{1/3}=4/3
n=3のとき、2・3/(3+1)=3/2、1+{1/3}+{1/6}=9/6=3/2
ありがとうございます!