いきなり新しい考え方をお伝えします。
混乱したら無視してください。
a watch which my father gave me
の解釈は2通りあります。
①[[a [watch]][which my father gave me]]
→aがwatchだけに作用し,「お父さんが私にくれた,世の中にたくさんある腕時計のうちの1つ」といった意味を表す解釈
(a watch←which my father gave me)
②[a [watch [which my father gave me]]]
→aがwatch which my father gave meに作用し,「お父さんが私にくれたたくさんの腕時計のうちの1つ」といった意味を表す解釈
(a→watch which my father gave me)
aもtheも両方使える環境で,aを使ってしまった結果,②の解釈をされると困る(私のお父さんはそんなに裕福ではない!)という場合には,theを使うという考え方もあります。
つまり,「ある特定の1つの時計」〝ということにし〟て,私がお父さんからもらった時計はあくまでも1つだ,ということを暗示するということです。
答えでthe watchと書いてあるのはこの理屈かもしれません。
さて,ここまでが新しい(そして難しい)考え方です。
再度言います,混乱したら無視してください。
だって,結論としては,a watchでも構いませんので。
文法的には何の間違いもありませんし,日本文と何の齟齬もありません。
a watchを×にする理由は何もありません。
ニュアンスの違いは「手紙」や「クッキー」の時と一緒です。
それと,質問とは無関係ですが,Myが大文字になっているのはきちんと減点されると思いますので,そこは直した方がよいと思います…。
ありがとうございます!!