✨ ベストアンサー ✨
ヒント
(12)両辺に1を加えて整理する
(13)両辺に？を加えて整理する
両辺に2を加えます
右辺がほぼ3乗になっていることに気づくのは少し難しいかもしれません。
a[n+1]=pa[n]+q
のときはそれで解く方法が常識ですね。
それは漸化式がほぼ等比数列だからです。等比数列になるようにうまい数を加えたり引いたりします。
今回の問題と同じような発想ですね。
>an+1とanをXとおいてでた解を両辺から引くことで漸化式が上手く解ける理屈？理由？
これは両辺にXを引いて等比数列になると仮定すると
a[n+1]-X=p(a[n]-X)
a[n+1]=pa[n]-PX+X
より
-PX+X=q
X=PX+q
となってよく知られている方法になります。
単にこの過程をショートカットしているだけです。
上の過程を見ればわかる通りその方法は右辺がa[n]の一次関数のときにだけ通用する方法です。
一般の場合では不動点を求めていることになります。
https://manabitimes.jp/math/716
なるほど！（13）も解くことができました！
なのですが、不動点定理との関係のイメージがいまひとつ湧きません。
a[n+1]-X=p(a[n]-X)で
左辺については全体からXを引いているのに対し右辺についてはanについての式の中身？から引いていて（Y^2があったとき（Y-X）^2のように、f（Y）があったときf（Y-X）のように）左右で行っていることが違うように感じるのですが説明をしていただけませんか？理解力が足りずに申し訳ないです。
右辺にはもともとqがあったことに注意してください。
両辺からXを引くのですが、右辺は
pa[n]+q-X=pa([n]-X)
この変形はXが特殊な値
X=PX+q
を満たす数だから可能なのです。
というかそのようなXを探して変形しているのです。
写真についてはおそらく理解できたのですがやはり、漸化式の極限で用いられるというバナッハの不動点定理がan,an+1をXと置いたとき得られる解を両辺から引く理由には直結しないのですが、、、
もう少し解説していただけませんか？
現状の理解で十分であるならばここで留めておこうと思います。
a[n+1]=f(a[n])
について
X=f(X)
を満たすXを求めてこの式を漸化式から引くという数学的意味は
a[n+1]-X=f(a[n])-f(X)
平均値の定理より
f(a[n])-f(X)=f'(c[n])(a[n]-X)
c[n]はa[n]とXの間の数
このように等比数列もどきになる。
不動点への収束での議論ではこのあと
|f'(c[n])|<M<1
を示す流れになる。
特にf(X)=pX+qのとき、f'(X)=pであるから
f(a[n])-f(X)=p(a[n]-X)
と等比数列になる。
漸化式a[n+1]=pa[n]+qの解法として有名な方法ですが、上述のように一般の数列でも意味のある操作であるという紹介です。
解ける漸化式はわずかですから、それが解けるうまい方法と理解しておけば十分です。
理解できました！
数列の極限についても理解が深まりました！
3日間に渡りありがとうございました。
ヒントありがとうございます！（12）は解けたのですが（13）では1を足したのですが（解が-1だったので）うまくくくれません。。。よければ解法を教えていただきたいです。又an+1とanをXとおいてでた解を両辺から引くことで漸化式が上手く解ける理屈？理由？のようなものありましたら教えていただきたいです。