Question

ジン

2変数の極大極小は分かるのですが、最大最小をとるかの考察と言われると困ります…。
xとy片方ずつ∞にしたり、いっぺんに無限にしても0になり、条件から0以下にならないのでおそらく最大値だけ持ってあとは0に漸近するくらいしかわからないです。これすらあってるかわからないですが…。
他に何かあるでしょうか？ご教授おねがいします🤲

問親」5-3 D.j«.)€ R°| ×zo. 2z07
f(x,g)= (2x +)e
は暴大値が長か値を
に おて
と3か を考家せよ.

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

piss

こういう問題って確かに難しいですよね。
位相を習うと(またはかなり高級な解析の本を読むと)幾分か考えやすくなります。方針のみ述べます。
Dは閉集合ですが有界ではないのでこの集合上でfが最大、最小を取るかは定かではありません。
しかしDと原点中心で半径rの閉球との共通部分を考えるとこれは有界閉集合でありfはこの集合上で連続なので最大値と最小値を持ちます。(いわゆる最大値の原理というやつです。ユークリッド空間上の有界閉集合はコンパクトであることが鍵)あとはDと閉球の補集合との共通部分上でのfの値がと先に考えた最大値、最小値との関係を見れば答えがわかります。あとは関係が見やすくなるように半径rをうまく調節して以上に述べたことを厳密に論じれば良いことになります。
一方上のような考察をしなくても最小値に関してはかなり簡単にわかります。(x,y)≠(0,0)であるDの点に対してはf(x,y)>0でありf(0,0)=0なので(0,0)で最小値です。
課題等で出されているのであれば早急に対処する必要があるのかもしれませんが、そうでないのなら位相等を勉強されてから再チャレンジすると良いと思います。

哲治

グラフとしては最大最小ありますね。

piss

そのようですね笑
今回D内部におけるfの極大、極小の候補はx偏微分=0,y偏微分=0を連立させればどこにあるかわかります。あとはDの境界と閉球の共通部分上でfが最大をとらないことをいえば、最大値はDの内部と閉球の共通部分にあり、従ってそこでは特に極大でもあるので候補の点をしらみ潰しに調べていけばDと閉球の共通部分における最大値がわかる感じですかね。後はそれが全体で確かに最大になっていることを言えれば証明完了です。
グラフソフト使えれば楽勝ですがちゃんと論じるのはめんどくさいですね。

哲治

確かに面倒そうですね。笑

ジン

お2人ともいつもありがとうございます😭
なんとか課題終わらせることができました…！
極大極小を計算してみたところ、
x>=0と、y>=0では極大点しか持たないことが分かって、なんとか今の知識だけで文章を書くことができました！本当にありがとうございました