Question

The end of the tale

解答では背理法を使っているのですが、この証明方法でも大丈夫でしょうか？

117 次の等式を満たす有理数 p, qの値を求めよ。
第2章 集合と命題 29*
113 実数 x が正の無理数であるとき, /x は無理数であることを証明せよ。
STEPくB
例題 13 nは整数とする。次の命題を証明せよ。
n°が3の倍数ならば, nは3の倍数である。
対偶を証明する。3の倍数でない整数nは, 3k+1, 3k+2(kは整数)のいずれかの
形で表される。
対偶「nが3の倍数でないならば, n° は3の倍数でない」 を証明する。
nが3の倍数でないとき, nはある整数えを用いて 3k+1, 3k+2のいずれかで表さ
指針
解答
れる。
こ de
[1] n=3k+1のとき
n=(3k+1)°=27k°+27k°+9k+1=3(9°+9k°+3k)+1
9°+9k°+3kは整数であるから,n°は3の倍数でない。
12」 n=3k+2 のとき
ケ効半ふ 変
n°=(3k+2)°=27k°+54k°+36k+8=3(9k°+18k?+12k+2)+2
9°+18k°+12k+2は整数であるから, n° は3の倍数でない。
よって,対偶は真である。したがって,もとの命題は真である。終
114 m, n は整数とする。次の命題を証明せよ。
(1) n?が5の倍数ならば, nは5の倍数である。
*(2) mn が3の倍数ならば, m, nの少なくとも一方は3の倍数である。
115 V6 が無理数であることを用いて,V3-V2 は無理数であることを証明せ
太関
よ。
T16 p, gが有理数,Xが無理数で, か+qX=0 であるならば, カ=q=0 であるこ
とを証明せよ。
=1
1)0ta?=2+V2
2-1

tra題を真である。
リっし
12.
() H3が無理数でないと仮定すると、1けふは有理数であわぶら、その有理数を
heするて、 1t3:ドから、厚:トー1。が有理数のてきとーいは有理数であるから、
この等式はBが意理数であるこてに予順る、したがってけ、3は無理教である
275が気理数でないて仮定すると、2点は有理数であり、その有理教をにる
h= え 表せる。よってJ3こ2ド。rが有理数のてき、2ーht有耐準教
だから、これは3か無理数で格こてに考信する。したがって遊無理教で
113
対傷「反が有理教であるこ→実数処は正の有経理数である」を証明引る。
ニン
「スが有理教であるてき、互いに柔な自然数、P.gを用ってなだ表にな。
2
したがってターであり言は有確数ななで伝うも有理教である。
ごあり
有理数をなで伝うも有理態である。
したがって対間は真であん、よってもての分題を真である。

Answer 1

たまに間違う人

対偶証明法は、p⇒qを証明するとき、q￣⇒p￣となることを示すという、間接証明法の一つです。

本題に参ります。これは、おそらく減点、もしくは0点にされるかもしれません。なぜならば、正の無理数の補集合は、"負の無理数または有理数"と表すべきだからです。Aの補集合は、全体集合のうち、Aを除く全ての部分集合を指します。
あと、2行目で、√x=p/qとおいたとき、pとqを自然数とおくのも問題です。有理数は負の数も含みます。なので、自然数と限定せずに、"整数、ただしq≠0"で十分です。

このように、証明する際には誰からも何もツッコまれないような完璧な証明(特に必要条件、十分条件についてはお気をつけて)を書くことを心がけてください♪