Question

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下の問題ですが、ヒントの使い方がよく分からず、全然手が出ません。具体的に何から始めれば良いのでしょうか？

問題 2.16.(-1,1) 上の関数 。
と-0 ", || <1を考える。
ニ
-C
n=
k= 2,3,4 に対し, le| <1の範囲で をマクローリン級数展開せよ,
(すなわち oanien ( an E R)の形に表せ).
m=0
ヒント:級数20ane", Sobnan に対し,形式的に与えられるべき級数。 Cnem,
Cn = Eoakbn-k(コーシー積とよばれる)を考える。
m=0
m=(
m=0

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

f,gが次のようにマクローリン展開されているとき、
f(x)=Σa[n]x^n
g(x)=Σb[n]x^n
f(x)g(x)のマクローリン展開は
f(x)g(x)= (Σa[k]x^k)(Σb[m]x^m)=ΣΣa[k]b[m]x^(k+m)
となるのでk+m=nになる(k,m)を考えることにより
f(x)g(x)=Σc[n] x^n
c[n]=Σa[k]b[n-k]
となる。

今回はk=2のときはf=g=1/(1-x)として、
順にf=1/(1-x)^k, g=1/(1-x)
としていけばいい。

ログアウト済み

ヒントを元に下の画像のように考えたのですが、どのように考えるのが正解なのでしょうか？

Crystal Clear

その調子でk=4の場合も計算すればOKです。
問題ではk=2,3,4しか要求されていないので、それで終わりですが、一番下のように漸化式を立ててやってもいいですね。

でも、そもそもこの関数はn階微分が容易に求まるので、マクローリン展開の式に代入すれば結果はわかります。

ログアウト済み

確かに k＝2, 3, 4 の時だけでOKですね。
k＝4 のときの答えも何とか出せました。
回答ありがとうございました。