超典型問題で、こんなのが入試に出たら超ラッキーなので、ここで押さえましょう。まず、等積変形って覚えていますか？それを使います。この時点で、ピンとこればもうこれ以降読まなくてよいです。
等積変形は苦手とする人が意外と多いところなので、一応説明しておきます。分かっているなら、とばしてください。写真の△ABPを面積を変えずに、Pを移動させます(ABは固定)。このとき、ABを底辺と見れば、高さは写真のようになります。高さは底辺に垂直である、これは当たり前に思えるかもしれませんが、再認識してください。
Pを移動させて△ABP' を考えます。このとき、面積を変えないためには、底辺ABは変わらない辺なので、高さを変えなきゃよいですね。そうすると写真のようになります。ここで、「高さ」はP'BではなくP'から下ろした垂線になることがポイントです。
これと同じことを考えたら点Pが集まってできるもの(Pの軌跡)はどうなるかわかりますか？高さというのは、頂点から底辺までの距離とも言えるわけで、高さ=底辺との距離が変わらないということは、底辺と平行な直線が作られます。(図のオレンジ点線)つまり、このオレンジ点線上の点とABを結んでできる三角形だったら、いかなる所でも常に面積が同じだということです。
この問題も同じように考えると、OABとPABが等しくなるようにするのであれば、ABは「変わらない辺」なので、底辺とみなしてやればよいですね。すなわち、点Oを通ってABに平行な直線上の点はいかなる点でも、△OABと等しいわけです。
Pは放物線上という条件があるので、図のオレンジ線の式を求めて、放物線の式と連立させてやれば答えが出ますね。
ちなみに、OとAの間という制限がなければ、答えは3つになります。1つは、(3)の答えですが、もう2つはわかりますか？考えてみてください。
前の問題で、ABの式は求めていますよね。だから、原点を通って、ABと平行な直線はすぐにy=2xと求まります。
あとは、y=2xとy=-2x²を連立するだけなので、やり方さえ知っていれば30秒も要りませんね。だから、さっきも言ったように出たら超ラッキーな問題です。