S never dreamed of 〜ing 「〜するとは夢にも思わなかった」ですね。〜ingの主語もSになることに注意しましょう。
①→これだと「私が such a quiet placeである」という文になってしまいます。
②→現在完了にしても①と同じような理由でダメです。
③→熟語として覚えておいても良いですし、〜ingには「〜しながら」という訳があるのでそこから不定詞ではなく、〜ing形であると考えることもできます。
④→③の説明より不定詞ではありません。
よって③が正解です。