Question

エレメントくん

高校物理の単振動の問題です。(4)において、糸がたるむ(T=0)となるときの加速度αを単振動の式
α=-Aw'2sinwtを用いて導出[(3)で求めた角速度wを利用]したところ、振幅の値がA=-mg(M+m)/Mkとなってしまいました。この式にM=mを代入すると、正しい値になるのですが、なぜこうなるのでしょうか？

229.滑車と単振動■ なめらかに回転する軽い定滑車に, 軽い糸
をかけ, 一端に質量mの小球P, 他端に質量 M(M>m)のおもり
Qをつり下げた。次に, Pと床の間を, ばね定数kの軽いばねで
鉛直方向につなぎ, P, Qをつりあいの位置で静止させた。ばね
が自然の長さになるときのPの位置を原点(x=0) として, 鉛直上
向きにx軸をとる。また, 重力加速度の大きさをgとする。
(1) P, Qが静止しているときの, Pの位置を求めよ。
(1)の状態からPを引き下げて静かにはなすと, Pは,糸がピン
と張った状態を保って単振動をした。
(2) Pが位置xにあるときのPの加速度をa, 糸の張力の大きさをTとし、 poの
れぞれの運動方程式を示せ。ただし, Pは鉛直上同き,Qは鉛直下向きを正とすス
「P
m
0
Q
k
(3) Pの単振動の角振動数を求めよ。
(4) 糸がたるまないためには, Pをはなす位置がいくらよりも上であればよいか。
(立命館大 改)
例題20
ED
ヒント

229.滑車と単振動
(M-m)g
23
(2) P:ma=Tーkx-mg,
2mg
k
解答
k
T,A
m+M
Q:Ma=Mg-T (3)
指針(1) P, Qのそれぞれの力のつりあいの式を立てる。(2) Qの
加速度はPの加速度と同じ大きさで逆向きとなる。(3) P, Qのそれぞ
れの運動方程式からTを消去し, P, Qを一体とみなした場合の運動方
程式に整理する。(4) P, Qのそれぞれの運動方程式からaを消去し,
T>0となる条件を求める。
解説(1) P, Qが静止しているときのPの位置を*=xo, 糸の
張力の大きさをT。とする。このとき, ばねの自然の長さからの
伸びは x。であり,P, Qにはたらくカは図1のように示される。
P, Qのそれぞれの力のつりあいの式を立てると,
P:T。-kxo-mg=0
P。
0
図1
OM>mから、ばた
自然の長さよりも無
状態となる。
Q:T-Mg=0
(M-m)g
k 日
2式から T。を消去して x。を求めると,
Xo=
(2) Pが位置xにあるとき, P, Qにはたらく力は図2のように示され
る。Pの運動方程式は, 鉛直上向きを正として,
ma=T-kx-mg
Qは, Pと同じ大きさの加速度で逆向きに運動するので, 鉛直下向き
を正とすると,Qの運動方程式は,
Ma=Mg-T
(3) 式0+2から,
TA
*A
a
P
<T
mg
0
(m+M)a=-kx-mg+Mg=-k{x-.
(M-m)g
k
kr
(1)で求めた x。を用いると,
この式は,P, Qを質量 m+Mの1つの物体とみなした場合の運動
方程式を表している。 右辺は復元力F=-Kxの形になっており、物
体は,復元力F=ーk(x-x)=D0 となる位置x=x。 を中心として単振
(m+M)a=-k(x-x)
図2
○質量mの物体が復元
カF=-Kxを受けて単
振動するときの角振動
動をすることがわかる。角振動数wは,
k
(4) 式の×M-式②×mから, Tを求めると,
の=
V m+M
0=(m+M)T-Mkx-2㎡M9
M(kx+2mg)
K
は、o=
T=
m+M
m
糸がたるまない条件はT>0 と表されるので,
M(kx+2mg)
2mg
k
Pをはなした位置は, Pの単振動の最下点となる。これが
○TはP, Qの運動に応
じて変化することがわか
る。
m+M
2mg よりも上にあれば, 常にT>0となり、糸がたるむこと
x=ー
k
OPをはなした位置は、
速さが0となる点であり。
単振動の端である。
はない。逆に,下にあれば, 手をはなした直後にT=0となり、糸が
たるむ。
→S