基本 例題191 変曲点に関する対称性の証明
eは自然対数の底とし, f(x)=e**ale"*+b+c (a, 6, cは定粉)
曲線 y=f(x) はその変曲点に関して対称であることを示せ。
O000
とするとも
指針>まず,変曲点(か, q)を求める。 次に証明であるが, 点(p, q)の
ままでは計算が面倒なので, 曲線y=f(x) が点(p, 9)に関して
対称であることを, 曲線 y=f(x) をx軸方向に 一p, y軸方向に
-qだけ平行移動した曲線y=f(x+か)-qが原点に関して対称で
1aあることで示す。
曲線y=g(x)が原点に関して対称 ←→ g(-x)=-g(x)
ソーx+)-
g(x) は奇関数
解答
ゾ=e*+a+e-x+6
y"=0 とすると
y"=e*+a_e-x+6
exta=e-x+b
ゆえに
x+a=-x+b
Ae"=e°→ u=B
b-a
x=
2
よって
b-a
ここで,p=ー2
とする。
x>pのとき, 2x>2p=b-aから
xくpのとき, 2x<2p=Db-aから
y"の符号の変化は, 右の表のように
なり,f(b)=eP+a_e-b+b+c=cで
あるから,変曲点は 点(か, c)
曲線y=f(x) をx軸方向に 一p, y
軸方向に -cだけ平行移動すると
y=f(x+p)-c=e*+p+a_e-(x+p)+b+c-c
このとき y>0
このとき y<0
x+a>-x+6
x+a<-x+b
x
p
Ax=pは e*a-e0
解であるから
eDta-e-Dtb=0
0
n変曲点| U
(nは上に凸,Uは下に凸)
y
(曲線 y=f(x)をx結方
に s, y軸方向にだけ
行移動した曲線の方
yーt=f(x-s)
曲
a+b
Set+Q+6
この曲線の方程式をy=g(x) とすると
1g(-x)=e-*+-ex+=-(
よって,g(-x)=-g(x) が成り立つから,曲線y=g(x) は原点
に関して対称である。
ゆえに,曲線y=f(x) はその変曲点(p, c) に関して対称である。
参考 f(bーx)+f(カ+x)=2c が成り立つことからも, 例題の曲
線が変曲点に関して対称であることがわかる (b.312 参照)。な
お, 3次関数のグラフは変曲点に関して対称 である。
4
y=g
a+b
a+6
*+4+6
a+b
ーズ+
2
et
g(a)
ーa
10 a
(0-)6ト--
練習
a>0, b>0とし, f(x)=log,-x
191
対称であることを示せ。
x+a
とする。曲線 y=f(x) はその変曲点に関い
(額甲南
