Question

NurseCafe

(１)のグラフなのですが、ab間の変化度合いの方がcd間の変化度合いより大きい理由を教えて欲しいです。

A→B
よって
Eント 69 (気体の状態変化と熱効率〉
Q
「DV=ー定」はアソンの法則といい, 理想気体の状態方程式 「V=nRT」 よりpを消去すると,
nRT
- =ー定 と表せるがnとRが定数であることから, ポアソンの法則は「TV7-!=ー定」 とも表せる。
(2) 状態。
Pa
V
(1) a→b, c-dは かV'=一定, b→c, d→aは V=一定 であるので図a
a
のようになる。
A→B
(2)断熱変化では熱を吸収, 放出しないので, 熱を吸収, 放出するのは定積変化
であるb→c, d→aとなる。
b→cについて, 定積変化なので, 気体は仕事をしない。気体が吸収した熱
量をQbc とおくと, 熱力学第一法則より
Qbc=Cv(Tc-T.)+0※A←
Te< To より Qbc <0 となるので放熱しており, その熱量は Cv(T,-T.)
d→aについて, b→cのときと同様に, 気体が吸収した熱量をQaa とおく
と,熱力学第一法則より
Qan= Cv(Ta-T.)+0
T> Ta より Qan>0 となるので吸熱しており, その熱量は Cv(T.-Ta)
(3)気体が仕事をしたのはa→bとc→d。 断熱変化なので, 気体がした仕事
をそれぞれ Wab, Wed とおくと熱力学第一法則 「Q=4U+WLた」 より
a→b:0=Cv(T,-T.)+Wab
c→d:0=Cv(Ta-T)+Wed
よって W=Wab+ Wed=Cv(T.-T,+Tc-Ta)
(4)「カV=一定」, 理想気体の状態方程式 「かV=nRT」より
ルルの
P,
d
B→C.
圧変化
0
B→C
V。
V。
Vェ
2T
図a
合※A 単原子分子理想気体
の内部エネルギーの変化』
ゆえに
は
また,定
AU=nCy4T
WLた
よって
したがっ
nRT
-V=一定
(4) C→Dほ
D→Aは
よって TV'-1=一定
V
ゆえにa→b, c→dの断熱変化について
a→b:T.V27-=T,V,"-!
c→d:T.Vi7-1= T』V2"-1
Wした
令※B 気体が吸収した製
Qin, 放出した熱量 Qa, 気
がした仕事 Wの間には
W=Qm-Qout
が成りたち,熱効率eは
よって レ
V\ア-1
したがって, ①, ②式より (-)-
Ta_Ta
To T。
(5) A→B(定
D(定積変1
張)は熱量
(5)熱効率eは, 吸収した熱量に対する仕事の比なので, (2), (3)より
Ta- To+ To-Ta_1-
W
e=
Qa
W
To- T。※B←
Ta-Ta
e=-
Qm
を放出して
Ta- Ta
ここで0, 2式より
と書けるので
eミ
1Qcl
Tュ-Teー)
e=1-
Qaa
(T-T)V7-1=(Ta-Ta)V2"-!
よって
T-T。
=1-テ-T。
Ta-
V-1
3
2
ゆえに e=1-
としてもよい。
74
物理重要問題集
()

52
9気体分子の運動と状態変化
(8100)
*69.〈気体の状態変化と熱効率〉212
片側の閉じたシリンダーに1molの単原子分子理想気体が入っており, なめらかに動くじ
ストンで閉じ込められている。 この気体に対して次の1サイクルの状態変化を行う。
a→b:断熱膨張, b→c:体積を Vi に保って温度を下げる
c→d:断熱圧縮,d→a:体積を V2に保って温度を上げる
4つの状態 a, b, C, dの温度を Ta, Tb, Tc, Taとする。 また, 断熱変化では圧力かと体
積Vの間にかV=一定(yは定圧モル比熱を定積モル比熱でわった量)の関係が成りたつ。
次の(1)~(5)に答えよ。ただし, 定積モル比熱をCV)とする。
0A(1) このサイクルa→b→c→d→aを, 縦軸を圧力p, 横軸を体積Vにとって図にかけ。
00(2) 4つの状態変化のうち, 気体が熱を吸収または放出するものをすべて答えよ。またそれ
らの熱量をTa, To, To, Ta, Cvのうち必要なものを用いて表せ。
0A(3) 気体が1サイクルの間に外部にする仕事の総和 Wを Ta, To, Tc, Ta, Cvを用いて表せ。
00(4)次の関係が成りたつことを示せ。
Ta_ Ta
To Tc
OX(5) このサイクルを熱機関とみなしたときの熱効率eを, Vi, Va, yを用いて表せ。
(19 神戸大 改)
70.〈気体の状態変化〉 %
めらかに動くビストンをもつシリンダーに、Imol の単原子
想気体が入っている。 この気体を, 図のように, 温度 T
体積 V, [m] の状態Aから, 状態B, 状態C, 状態Dを経て,
状態Aにもどす過程を考える。 A-BおよびC→Dの過程で
は,気体の体積は一定であり, B→CおよびD→Aの過程では,
気体の体積は温度に比例して変化した。状態Bにおける気体の温
度を2T, [K), 状態Cにおける気体の体積を21V:[m°], 気体定数
をRJ/(mol-K)] として, 次の問いに答えよ。
01) A→Bの過程で気体が吸収した熱量を求めよ。
02) A→B→C→D→Aの過程のか-V1図をかけ。
V[m°]}
D
C
2V
A,
B
T[K)
0
Ti 27」
X3) B→Cの過程で気体が吸収した熱量は, A→Bの過程で気体が吸収した熱量の何倍か。
0(4) A→B→C→D→Aの1サイクル(循間I.
Y5)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

えだまめ🫛

数学的に証明する

点bの座標を( V₁ , p₁ ) , 点cの座標を( V₁ ,p₂ ) とする

図から　p₁ > p₂ …①

ポアソンの法則　pVⁿ = C から

ab間の変化の式を　pVⁿ = C₁
cd間の変化の式を　pVⁿ = C₂ とすると

点b (V₁ , p₁) , 点c (V₁ , p₂) を代入して

C₁ = p₁V₁ⁿ , C₂ = p₂V₁ⁿ

① から　C₁ > C₂ …②

ab間　p = C₁･V⁻ⁿ …③
cd間　p = C₂･V⁻ⁿ …④

pをVの関数とみて、Vで微分すると

③ p'(V) = -C₁nV⁻ⁿ⁻¹ …③'

④ p'(V) = -C₂nV⁻ⁿ⁻¹ …④'

③'と④'から
③と④では同じVに対する微分係数の絶対値が
③の方が大きいとわかる

ゆえに　
ab間の方が
cd間よりもV増加に対して減少率が大きい

すなわち
cd間の変化度合いよりも
ab間の変化度合いの方が大きい

ややこしくなってしまったけど
微分して、大小を比較、
→変化度合いがわかる　という構図です

えだまめ🫛

C,C₁,C₂, は単なる定数です。比熱とは関係ありません。

NurseCafe

なるほどです！ありがとうございました！