拙いですがお力添えを、、
(2)等速円運動している物体には、円の中心(点O)に一定の力が働いています。今は詳しいことを省きますが、力の大きさfは、物体の速さv、円運動の半径rとして、
f＝m×(v ^2/r). (1)
となります。ここで大切なことですが、等速円運動の速さvは角速度ωとどんな関係にあるでしょう？
考察
円を一周ぐるりと回転すると、360度回転したって言いますよね？360度＝2π[rad](ラジアンって読みます)と定義すると、計算が便利なのでこの定義をします。角速度ωは、一秒間に何ラジアン回転したか？という物理量です。(ex,一秒間に180度回転するなら、ω＝π[rad/s]です。単位はとても大事です！)
次に、扇型図形の円弧の長さの表式はご存知でしょうか？この長さlは
l＝r×θ(θは円弧が開いている角度です。開けば開くほどこの長さは長くて、半径が大きいほど円の長さは大きくなるから、半径にも比例しています)。では、円の周りをぐるりと回る速さはどう求められるでしょう？速さは単位時間あたりの移動距離(＝長さ)なので
v＝dl/dt＝r×ω (2)
です。これは時間で微分しています。微分は知っているものとして話を進めます。
(1)、(2)より、
f＝mrω^2 (3)
と求まります。rは与えられているので、これでおしまい。
すいません。(2)は説明不足ですね。
問題文の角度θの置き方から考えると、
Lcosθ＝√3/2×L. Lsinθ＝1/2L
となりますね。地上の人間からみた物体の力の釣り合いは
(鉛直)Tsinθ＝mg. (水平)Tcosθ＝f
となることを確認してください。この2つの式から
mg/(tanθ)＝f＝√3×mg＝mrω^2＝mLcosθω^2
tanθ＝(sinθ)/(cosθ)＝1/√3なので、
ω＝√2g/L(√は全部にかかってる) ⚠️
あれ？解答と違いますね。試しに単位を考えてみましょう。g[m/s ^2]、L[m]なので、ω[/s]となり、大丈夫そうです。(ラジアンは無次元です。個数の単位と同じ扱いになります)質問者様の提示された解答だと、単位がおかしなことになってしまいます。確認をお願いします。
ちなみに、(5)は次のようになります。
r<3gL/2g＝3/2×L
こちらの方が、√など余計なものがないので理想的な解答らしく見えます、、どうでしょうか？
何度もすみません。
問題をの設定からすると、
Lcosθ＝√3/2×L＝r
となっているはずです。しかし自分の出した答えはrがLよりも大きいことを許しています。これはありえないことなので、実質、
r<L
となるのですが、これも当たり前ですね。自分が間違っているかも知れませんので、是非確認してみてください。
長くなってしまうのでここで改めて、、
(3)今、物体は半径rで円運動していて、点Oに向かって力fが加わっています。
ここで、少し分かりづらいですが、物体と一緒に運動している人間がいるとしましょう。(仮にSさんとします。)その人から見たら、物体って静止してますよね？でもさっき物体には力fが加わっていると述べたし、現にその大きさを求めました。実はさっき求めた力f、詳しくいうと点Oに向かって加わっている力は、地上からみた人間が測った力です。このように観る人の状態によって観測される物理量って変わる時があります。では、ではSさんからみた物体に働く力は、、当然ゼロでないとおかしなことになりますね。しかし注意したいのは、Sさんからみた物体には2つの力が働いているということです。
(i)点Oに向かって働く力f (ii)fとは逆向き、同じ大きさの力f’
になります。結果として合力は0になるので、Sさんから観て物体は静止しているわけです。物体の力の釣り合いは
f＝f’. (4)
です。当たり前ですね。
さぁ、糸が切れるっていつところの解釈がポイントになってくるんです。(4)の2つの力のうち、糸をちぎる性質を持つものがありますよね？それは、円の外側に働く力f’です。これに気づけばあとは簡単。糸が切れてしまうギリギリの力は3mgなる大きさです。f’をいろいろ動かしてみると、f’＝f>3mgとなれば糸はちぎれてしまうということが分かります。従って糸がちぎれないためには
f＝mrω^2<3mg. (5)
これをrについて解くと、
r<3g/(ω^2)
となります。