回答

(1) 円周角の定理の証明ですね。基本定理の証明はできた方がいいです。
ポイントは半径ORを書き入れることです。そうすることで、二等辺三角形が2つできます。
△OPRは二等辺三角形なので
∠OPR=∠ORP(=○とする)
△OQRは二等辺三角形なので
∠ORQ=∠OQR(=●とする)
よって、三角形の内角の和は180度なので
○+○+●+●=180
2(○+●)=180
○+●=∠PRQ=90
となり、証明完了です。

そのつぎのテーマは「内角と外角の二等分線の定理」です。すべて説明されていますが∠BACの内角の二等分線はBCをBA:BCに内分、外角を二等分する線はBCをBA:ACに外分するという定理です。
おそらく(4)に合わせにいったのだと思いますが数が汚いですね。

(2)BA:AC=5 : 2√2 =BD:DC
BC=aより5a / (5+2√2)が答えです。有利化してもしなくてもいいと思います。
(3)BE:EC=5: 2√2なので
BC:EC=(5-2√2):2√2です。
今BC=aなので求めるECの長さをxとすると
a:x=(5-2√2):2√2
x=2√2a / (5-2√2)
が答えです。
(4) 実はこの問題は(1)が伏線になっています。(1)では2(○+●)=180度から○+●=90を導きましたが、同じく今回も点Aに注目すれば2(○+×)=180という関係があります。よって○+×=∠DAE=90度となっています。よって、D,A,Eを通る円というのは、円周角の定理の逆よりDEを直径とする円になります。
ここからは計算がものすごく面倒なので、やりたくないのでやりません。もしかしたら、他に何か方法があるかもしれないので見つけたら送ります。

らぴ

わざわざありがとうございます、助かりました。4.意外ときれいな数字になりました!(笑)

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