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(定理)
スカラー関数f(x,y,z)=0が表す曲面S上の点Pにおいて
法線ベクトル = fの勾配
※ただしfは微分可能かつ勾配≠零ベクトル
(証明)
S上の曲線Cの位置ベクトルr=(x,y,z)とする。
パラメータ表示するとr(t)=[x(t), y(t), z(t)]である。
これをtで微分すると接線ベクトルが得られる。
r'(t) = dr/dt = [dx/dt, dy/dt, dz/dt]
またf(x,y,z)=0の両辺をtで微分すると連鎖律より
df ∂f dx ∂f dy ∂f dz
─ = ─ ─ + ─ ─ + ─ ─ = 0
dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt
ここで、
∇f = [∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z],
r' = [dx/dt, dy/dt, dz/dt]より
上式は ∇f ∙ r' = 0 となるので、
∇f ⊥ r'
よって∇fは接線に垂直なベクトルになるので、法線ベクトルである。
(Point)
・曲面S: f(x,y,z) = 0
・∇f ∙ r' = 0
・r'(t)はr(t)で表される曲線Cの接線ベクトル
→∇fは法線ベクトル
[解答の方針]
nとdSがわかれば計算できる。
n: 上述の定理を用いてn=∇g/|∇g|と求める。
dS: 面積分(dS)を2重積分(dxdy)へと変換する。
このときxy平面上の積分領域Mは、
曲面S全体をrが動くときのx,yの範囲。
→xy平面へのSの射影
(解説が足りなそうなところの補足説明②)
・dS = (1/|cosγ|)dxdy
曲面Sのパラメータ表示を
r(u,v) = [x(u,v), y(u,v), z(u,v)]
とする。
偏微分∂r/∂u, ∂r/∂vはそれぞれu,vが微小変化したときの接線ベクトルである。それらの外積
N = ∂r/∂u × ∂r/∂v
は法線ベクトルであり、大きさ|N|は接線ベクトルのつくる平行四辺形の面積である。
dr = (∂r/∂u)du より、drのつくる面積dSは
dS=|N|dudv
である。
いま、dS→dxdyとしたいので
u=x, v=y とすると、
r(u,v) = [x(u,v), y(u,v), z(u,v)] = [x, y, z(x,y)]
∂r/∂u = ∂r/∂x = [1, 0, ∂z/∂x]
∂r/∂v = ∂r/∂y = [0, 1, ∂z/∂y]
である。よって
N = ∂r/∂u × ∂r/∂v
= [1, 0, ∂z/∂x] × [0, 1, ∂z/∂y]
= [-∂z/∂x, -∂z/∂y, 1]
ここで、n = [cosα, cosβ, cosγ] と表せることと、
n = ±N / |N| (n,Nが同じ向きなら+, 逆は-)
となることを用いて
N = ±|N|n = [±|N|cosα, ±|N|cosβ, ±|N|cosγ]
と表せる。
N = [-∂z/∂x, -∂z/∂y, 1] とk成分を比較すると
1 = ±|N|cosγ
|N| = 1/(±cosγ)
このとき |N|＞0 より
cosγ＞0のとき |N| = 1/(+cosγ)
cosγ＜0のとき |N| = 1/(-cosγ)
↓まとめると
|N| = 1/|cosγ|
となる。
よって
dS = |N|dxdy = (1/|cosγ|)dxdy
である。
(Point)
・曲面Sのパラメータ表示
(面は2次元なので2変数で。線なら1変数で)
r(u,v) = x(u,v) i + y(u,v) j + z(u,v) k
・曲面Sの法線ベクトルN
N = ∂r/∂u × ∂r/∂v
・面積分の定義
dS = |N|dudv
u,vがx,y,zのとき特に
dS=(1/|cosα|)dydz
dS=(1/|cosβ|)dzdx
dS=(1/|cosγ|)dxdy
(解説の足りなそうなところの補足説明①)
・z/2 = cosγ について
任意のベクトルのi,j,k成分はそれぞれ単位ベクトルi,j,kとの内積で求められる。
例: 単位法線ベクトルnのi成分
n = [nx, ny, nz] とすると
n∙i = [nx, ny, nz]∙[1, 0, 0] = nx なので
nx = n∙i
ここで、単位法線ベクトルnと単位ベクトルi,j,kとなす角をα,β,γとおくと
n∙i = |n||i|cosα = cosα より
nx = n∙i = cosα
なので
n = [cosα, cosβ, cosγ]
= cosα i + cosβ j + cosγ k
となる。
ここで、∇gから求めた単位法線ベクトル
n = y/2 j + z/2 k
とそれぞれのk成分を比較すると
z/2 = cosγ
である。