北大数学(三角関数の最大最小その2)

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ルーシー

ルーシー

高校全学年

aを実数とし,関数f(x)をf(x)=a(sinx+cosx)−sinxcosxによって定義する。ただし,xは実数全体を動くとする。
(1)t=sinx+cosxのとりうる値の範囲を求めよ。
(2)f(x)の最大値が3となるときのaの値を求めよ。
(北海道大)

ノートテキスト

ページ1:

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ページ2:

(1) (解)+= sinx+cosasin(x+c)
つは実数全体を動くので、sin(x+)≦)
(2)(解)
よって、
ft=sinx+cos
両辺2乗して、
t1+2sinxcosx
-√2+√√
sinとcosの混ざった
三角一次式
2乗してみる
2
- sin x cos >=
t²-1
2
+²-1
fiv=at-
(1)
M
t-a
=
(
2
2
12/2that+2/2
2
+-^^)²+;
a-Jのとき、
Max f(一に一Fa
- √2 α- = 3
(一反)
a=-7点(as-Eを満たす
(ii)≦a≦2のとき、
たか
Max
4
f(a) = -a²+= "
= = =√ √ a² + = = = = = 3
a2=5
2
(iii)
Mt-a
!
一≦a≦長を満たすのは存在しないので不適
√≦aのとき、
Max fl√2)=√√√a
ひ
a
a=
7.2.
4
よって、(i)(i)、(Ⅲ)より、
01=±7.12
4

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