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問題 281 3 次の整式 f(x)は ff(t) dt = x を満たすとする。 f(x) を 求めよ。 287 a q は実数とする。 関数 f(x)が「"f(t)dt=3x3-5x²-4x+4 Ja を満たすとき,次の問いに答えよ。 293 (1) f(x) を求めよ。 (2) αの値をすべて求めよ。 (3) bf*f(t)dt + cx = xf'(x)-2を満たす実数b,cの値を求め よ。 x-1 座標平面上で連立不等式 y≧ x2 -1, y ≦ x+5,y≦-3x+9 の表す領域の面積を求めよ。 300 aを0<a<9を満たす実数とする。 xy 平面上の曲線Cと直線 lを,次のように定める。 C:y=(x-3)(x+3)|, l:y=a 曲線Cと直線lで囲まれる図形のうち,y≧aの領域にある部分の 面積を S,y≦a の領域にある部分の面積を S2 とする。 S, = S2 となるαの値を求めよ。
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プチ解説 281 (計算ミスがあったらごめんなさい(・ω・`))
► S, ƒ (t)dt = x³
x-1
積分の計算
f(x) = ax³
2
= ax³ + bx² + cx+d (a, b, c, dは定数)とおくと
3
2
bt³ -ct² + dt
f(t)dt
S., ƒ (1) dt = [ — — at* + ½ br² + — ct
1
4
x-1
よって
-
3
2
x-1
= (±+ax² + + bx² +++cx² + dx)
-{
2
- {(x-1)* + b (x-1)²++c(x-1)²+d(x−1}}
.........
= ax³ +
+ ²²a-
a(x.
3
途中計算略
•a − b ) x² + ( a + b −c)x + ( — a − b + ½ c-d)
Ga - b)x²
+(-a+b−c)x+(
ax³ +-a-b)x² + (-a+b−c)x+(a
1
-
_ _
·b +
C-
これがxについての恒等式なので係数を比較して
d) = x³
a=1
Dra-b
-b=0より
=
3
2
1
①,②と-a+b-c=0より
C = -
2
1, 2,
③と a
b+c-d=0)) d=0
3
①,②, ③, ④を f(x) = ax + bx2 + cx + d に代入して
3 2
f(x)=x+
f(x)=x³ += x² +−x
2
ページ3:
プチ解説 287(計算ミスがあったらごめんなさい(・ω・`))
積分関数
(1)f(t)dt = 3x3 - 5x2 -4x+4
両辺をxで微分するとf(x)=-ff(r)d=9x2-10x-4
dx
(2)f(t)dt = 3x3-5x2 -4x +4
a
x =αを代入すると
S" ƒ (t)dt = 3a³ −5a² - 4a+4=0
左辺を因数分解すると
(a+1) (3a-2)(a-2)=0
2
したがって
a=-1,
2
3
(3) bff(t)dt + cx = xf'(x)-2, f'(x)=18x-10
Jx-1
x=0 を代入すると
b(912-10t-4)dt
--
-2
b3t3 - 512 - 41] = -2
-
b{(3-5-4)-(-3-5+4)}=-2
b=1
□x=1を代入すると1 (9r2-10t-4)dt+c=1·(18-10)-2
[313-5t2 -4t+c=6
(24-20-8)+c=6
c=10
ページ4:
プチ解説 293算ミスがあったらごめんなさい(・ω・`))
定積分と面積
条件を満たす領域をお絵かきして確認すると
=
S, = [',{(x+5)-(x2-1)}dx = [ (-x²+x+6)dx
っ
--+
2
-x+6x
=(-1+1+6-1+1/+12)
3
4
3
S2
1
27
S2 =f{(-3x+9)-(x^-1)}dx =f(-x2-3x+10)dx
||
3
3
2
x
.x +10x
2
8 12
1
3
-
+20) - (-
+10)
2
3
2
19
16
3
6
したがって, 求める面積は S = S + S2
27
19
=
+
2
6
別解: 図のように上と下に分けると
S=4×3÷2+ · L²₂ {3 – (x² − 1)}dx
-2
=6+f(-x²+4)dx
.3
=6+['x +42 1
x+4x
=6+(--+8)
||
50
813|
3
5|3|
ページ5:
プチ解説 300 計算ミスがあったらごめんなさい(`・ω・´))
定積分と面積
-3
y=-x2 +9
y=a
a
9
S₁
√552
y = x2 -9
a
3β
左右対称だから121=S11 22=8,
S₂ とすると
s, =f{(-x^ +9)-a}dx=f(-x2+9-a)dx
s2 =${a-(-x²+9)}dx+f"{a-(x2-9)}dx
= f ( x² − 9 + a)dx + fr² (−x² +9+a)dx
S, = S2 より
f(-x2+9-a)dx =f(x-9+a)dx+f(-x'+9+a)dx
移項して
S(-x2+9-a)dx-f(x2-9 + a)dx
マイナスを中に入れて
- f² (x²−9+ a)dx
=S"
= f² (−x² +9 + a)dx
[ (-x+9-a)dx+ f(x²+9-a)dx =f" (-x²+9+a)dx
積分区間をまとめて
[ (-x2+9-a)dx=f(-x2 +9+a)dx
それぞれ積分して
[ - ]
+ 9x
-ax
x3 +9x+ax
次ページへつづく
ページ6:
計算して整理すると β - 309 + α)β +108=0 ・・・・・① −3(9+a)ẞ+108=0 βはx²-9=aの解だから a=β2-9 ②を①へ代入して β3-309 + β2-9)β+108=0 β3 =54 βは3より大きいから ③を②へ代入して B=3/54=3.3/2 a=(332)2-9 =9.34-9 これ合ってるの(・・?
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