ページ3:

(2) 後半
Q(x) = x2 - kx + 4k - 6
Q(x)=0の2つの解をα, β とすると、 解と係数の関係より
-
a + β=k...・・・ウ aβ = 4k6...... H
3つの実数解の積が1だから-1xaxβ=1
エより
よって
-(4k-6)=1
=
5
これはさっき求めた条件を満たす。
(8-2√10)
527-8√10
√729-√640
=
>0
4
4
4
4

ページ4:

(3) 長くなるよ
P(x)=(x+1)(x2 - kx + 4k -6) = 0が異なる3つの実数解
をもつ。
k<1, 1 <k<8-2√10, 8+2√10 <k
-1, α, β の3つの実数解すべてが-2<x<1を満たす。
→ -2<x<1 かつ -2 <β<1
→(-2<αかつ-2β)または(α <1かつβ< 1)
i
iとii に分けて考えてみます。
次ページ
ii

ページ5:

ii.a<1かつβ <1、すなわちα-1<0かつβ-1< 0 のとき
たして負だから
(a-1)+(β-1)<0
ウより
かけて正だから
∴.a+β<2
k<2
(α-1) (B-1) > 0
:.aβ - (a +β) +1 > 0
ウエより
(4k-6) -k+1 > 0
土
5
' . k > ·
3
5
とクをともに満たすのは
<k<2
※※
3
以上より、 問題文を満たすkの値の範囲は
k <1,1<k < 8-2√10, 8 + 2√10k かつ かつ ※ ※
すなわち
1
5
k<1, 1< k <8−2√10, 8+2√10<k,
<k,
< k < 2
3
3
数直線にお絵かきしてみると
1
1
3
5-3
5-3
k
2
8-2√10
8+2√10
< k <8-2√10

ページ6:

a+β=k-
aβ = 4k-6.
エ
i.-2<αかつ-2<β、すなわちα +2 > 0 かつβ +2 > 0 のとき
たして正だから
(a + 2) + (β + 2) > 0
..a + β > -4
⑦より
k>-4 ...
オオ
かけて正だから
(a + 2)(β + 2) > 0
∴.aβ + 2(a + β) + 4 > 0
ウエより
(4k-6) + 2xk + 4 > 0
1
.. k >
3
1
オと力をともに満たすのは k>
※
3
さらに次ページへ

ページ7:

2022度11月高2 進研模試 自学 @Akagi
【必答問題】
B3 x の整式P(x)=x3-(k+1)x2 + (2k + 3)x-(k +3) がある。
ただし, kは実数の定数とする。
(1) P(x) を因数分解せよ。
(2)k < 0 とする。 方程式 P(x)=0が異なる3つの実数解をもつ
ようなkの値の範囲を求めよ。
(3) kの値の範囲を(2)で求めた値の範囲とし, 方程式 P(x) = 0 の
異なる3つの実数解をα,β,y(a<β<y)とする。 このとき,
α+βをkを用いて表せ。 また,このkの値が変化するとき,
r
+| 2α -k |の最小値と,そのときのkの値を求めよ。
β-a
(配点 20)

ページ8:

ở
自学@Akagi
2022年度
(1) P(x) = x³- (k+1)x² + (2k +3)x − (k +3)
P(1)=0より、 P(x)をx-1で割ると 因数定理
1 -k-1
2k +3
-k-3
|1
1
- k
k+3
1
- k
k+3
0
2
x²-kx + k +3
あまり0
£ɔT P(x) = (x −1)(x² - kx+k+3)

ページ9:

(2)(1)よりP(x)=(x-1)(x2-kx+k +3)
Q(x)とおく。
P(x)=0が異なる3つの実数解をもつのは次の二つの条件を満た
せばよい。
【1】
Q(x)=0が異なる2つの実数解をもつ。
【2】Q(x)=0の異なる2つの解がx=1以外。
【1】Q(x) = 0 の判別式をDとすると、 D > 0 となる。
D=(-k2)-4.1.(k + 3) = (k + 2)(k-6) > 0
k < 0より
∴.k<-2、6<k
k<-2
【2】Q(1)=12-k.1+k+3=4
よって、Q(x) = 0 は x=1を解にもたない。
したがって、P(x)=0が異なる3つの実数解をもつようなkの値
の範囲は
k <-2

ページ10:

Y
(3)後半
2a-k の最小値は?
β-a
~準備~
f(x) = x2 -kx+k +3
解と係数の関係より a +β=k.. 1
aβ = k +3.
アとイの絶対値をはずします。
1
⑦ : y=1, β-α >0より |
=
β-a
β-a
①: ●より|2a-k|
=
|2a-(a+β)|
=
|α-β=β-α
r
|>0,|2a-k| > 0だから、 相加平均と相乗平均より
β-a
|a>0,b>0⇒a+b≧2√ab
r
1
|+|2a-k|
=
+(β-α)
B
-a
β-a
1
≧2
x ( β-α)
β-a
=2 最小値
1
このとき、等号成立条件は
B-a
=(β-α)
∴.(β-α)²=1
(a +β)2-4aβ =1
①と②を代入して
k2-4(k +3) =1
...k2-4k-13 = 0
k < -2より
k=2-v17
最小値をとるときのk
以上より、k = 2 -√17 のとき最小値 2となる。

ページ11:

(3) 前半(k< -2)
P(x)=(x-1)(x2 - kx + k + 3)
f(x) とおく。
k
k2+k+3
2
4
f(x) = (x-4)²
k
a
k
2 -1
k < -2より- < -1だから、y=f(x)の軸は-1より小さい。
2
r
また、f(1) = 4 > 0, f(-1) = 2k +4 <0より、y=f(x) のグラフ
は右上図のようになり、3つの解α, β, y の位置関係によりy=1。
(a <B<y)
よって、f(x) = 0 の2つの解がα,β だから、解と係数の関係
により
-k
a + β
=k
1

ページ12:

2021度11月高2 進研模試 自学 @Akagi
【必答問題】
B3 p, q は実数の定数とする。3次方程式 x3 + px2 + qx -4 = 0
は異なる3つの実数解 1, p, gをもつ。
(1)gをを用いて表せ。
(2) pのとり得る値の範囲を求めよ。
(3) kは定数とする。 o2 + β2 =kを満たすpの値がただ1つ存在
するとき, kの値を求めよ。 また, そのときのp の値を求めよ。
(配点 20 )

ページ13:

自学@Akagi
2021年度
P(x) = x3 + px2 +qx-4とおく。
(1) P(1)=0より 1+p+q-4 = 0
P(x)=0 は x=1を
解にもつから
g-p+3

ページ14:

(2)(1)より
P(x) = x3 + px2 +(-p+3)x-4
P(x)=(x-1)=x2 + (p +1)x+4より
P(x)=(x-1){x2+(p+1)x+4}
Q(x) = x2 +(p+1)x + 4 とおくと、Q(x)=0は異なる2つの実数
解α,βをもつから、Q(x) =0の判別式をDとすると、 D>0である。
D=(p+1)^-16=(p+5)(p-3)> 0
∴p <-5, 3 <p
①
また、Q(x) =0がx=1を解にもたないからQ(1) ≠0であるので
Q(1)=12+(p+1)x1+ 4 = p+6≠0
∴p≠-6
...②
①と②をともに満たす範囲が解だから
p<-6, -6 <p <-5, 3 <p

ページ15:

(3)Q(x) = x2 +(p+1)x+4(p<−6, -6<p< -5, 3 <p…※)
=
Q(x) = 0 の2つの解を α, β とすると、 解と係数の関係より
a +β=-p-1
•
aβ = 4
③
a2+β2 = (a +β)2-2aβ 対称式変形
=(-p-1)²-2x4 ③を代入
=p2+2p-7
a2 + β2 = k より p2+2p-7=k。
f(p)=p2+2p-7=(p+1)2-8 とおくと、 α2 +β2 = k を
を満たすp がただ1つ存在するには、
(f(-6)
放物線: y=(p+1)2-8
17
y = k
直線:y=k
が1点で交わればよいので、 2つの
グラフをお絵かきして確認すると
k=17
-6-5
3
・このとき、
p' + 2p-7=17
この2次方程式を解くと
※より
p=-6, 4
p=4