ページ3:

分子を因数分解
(qsinx-pcosx)(q' sin' x + qp sin xcosx + p2 cos2x)
sin2 xcos2 x
(2)(1)より
f'(x) =
x</2より
0<x<= より sinx>0, cosx>0で、p>0,q>0だから
2
x>0
q' sin' x + qpsin xcosx + p2cos2 x
sin' xcosx > 0
よって、qsin x-pcosx (=g(x) とおく)の符号を調べてf(x) の
増減表を書いてみます。 ※f'(x)の符号とg(x)の符号は同じ
og'(x) = qcosx + psinx > 0
π
g(x)は0<x<で単調増加。
2
g(0)=-p<0g(zz)=q>0g(x)は0≦x≦で連続
π
2
0<x<=でg(α)=0となるαが1つだけ存在。
2
f(x) の増減表はGGG
X
:
...
a
:
...
|2|
よって、f(x)はただ1つの
極小値をもち、極大値はない
ので、f(x)は極値をただ1つ
もつ。
f'(x)
-
0
+
|f(x)
~証明おしまい~
極小

ページ4:

(2) 極値を α とする。
g(a) = q sina - pcosα = 0
q sin α = pcosa
両辺を2乗して
q² sin² a
=
p² cos² a
相互関係より
整理して
cosa>0&b
これを※に代入して
q²(1-cos² α) = p² cos² a
2
COS
cos² α =
COS α =
2
q²
p² +q²
2
q sin α = p.
q
+q*
2
p² + q²
2
よって
①と②を f(x)=
f(a) =
3
p³
sin a
・+
3
p³
p
q
3
COS a
[p² + q²
+
sin α =
に代入すると
q
3
p² + q²
2
P
p² + q²
2
= (p² + q² ) √ p² + q²
= (√√p²+q²)³

ページ5:

(3)(2)の極値を m = (vp^+q^)として、gを消去します。
3
3
2p+q³ 1
よって
③をん(p)とおくと
導関数は
3
q³ =1-2p³
. . q² = ³√(1 − 2 p³)² = (1 − 2p³)³
2
p² + q² = p² + (1 − 2p³)³.......③
+q² +(1−
2
h(p) = p²+(1-2p³)³ đâ⭑¤¤
2
K(p)=2p+ (1-2p')-(-6p')
=2p
3
4p²
√1-2p³
3
h'(p)=0より
2p√1-2p³-2p)
√1-2p³
3/1-2p³-2p=0
3
..√1-2p³ = 2p
..1-2p³ = 8p³
3
.. p =
=
1
10
10
=
次ページへつづく
3

ページ6:

正 単調減少
2p(1-23-2p)
つづき
h'(p)
・は減少関数で、
+
31-2p3
P
正
3
1
2p3 +q3 =1より
P3
--
<
これと0 <p より
の増減表を書いてみると
2
0<p<3
p
...
h'(p)
h(p)
h(p)の最大値はh
10
+
0
7 |極大
だから、この範囲でh(p)
+31-
+ (1-2x-
--
'100'
25
=
+
100
(064-(4)
100
=
100
+4(-
100
根号の中の最大値
= 5(
100
よって、m=(vp^+q^)の最大値は
5(-
100'
3
=5v5x.
1
100
=
√5
2