ページ3:

(2)商の微分
d
dx
(1)
n+1
(x+1)'. (1-x)-x"+1 · (1-x)'
(1-x)²
よって
an+1, b = -n
=
=
(n+1)x" (1-x)+x"+1
(1-x)²
(n+1)x” – nx”+
(1-x)²
(n+1)x" - nx
n+1
+
(1-x)² (1-x)²
(n+1)x"
+
n+1
- nx'
(1-x)² (1-x)²
-dx +
1
でx:0→ -の定積分を行うと
nx"
n+1
(1-x)²
2
-dx
1
(n+1)x"
√²
(1-x)²
=(n+1)f²
x"
dx-n[
dx
dx
(1-x)²
(1-x)²
Jo dx 1-x
JO
xn+1
n+1
x
-x
整理すると
1
x"
(n+1)√2
(1-x)²
x'
n+1
0"+1
(
n
56-0
n+1
-dx-n√ dx =
(1-x)²
両辺を (n + 1)n で割ると無理やりつくる
1
x
-dx-
(1-x)²
(
1-0
1
n
z)*
1
n+1
x
-dx
n(n+1) 2
In
1
x"
(1-x)²
-dxだから
n+10 (1-x)²
In
n+1
1
;
n(n+1) 2
n

ページ4:

(3)与えられた無限級数の部分和を
N
SN = Σ -
n=1
'n(n+1)(2
とします。
n
(2)の解が書いてあった
ドミノ型
N
(2)より Sy=(1,-1)=(-1)+(-1)+..+(Lv-Ix)
S₁ = Σ (I„ − I„+1) = (I₁ −12) + (Į₂ — I¸) + ··· + (IN − IN+1)
N
k=1
=I-Ix+1=(1-log2) - IN+1
I=1-log 2
1
N+1
x
IN+1
=
-dx
N + 10
(1-x)2
Sy=1-log2-IN+1
この部分和を無限大にとばすと
lim S =1-log2 - lim Ix+1
n
N→8
N→8
ここがどうなるか次ページで
考えてみます。

ページ5:

\IN+1
J0
+
.N+1
XC
(1-x)2
-dx
0
≦x≦1/2のとき
ときのx
N+1と (1-x)2のとり得る値の範囲を考えて
下に凸の放物線
みます。
N+1
分子:ON+1 ≦ x N+1
分母:
(1-x)' ≦1
ひっくり返して
1≦
≦4
(1
0≤
N+1
x"
(1-x)2
定積分と不等式の性質により
1
ここで
(
N+1
_N+1
≦4
1
X
0≤
(1-x)2
N+1
1
dx=4.
定数
1
(
N+1
-dx = √124. (4)
1
N+1
N+1
1
dx = 4. [x]
2.
N+1
dx
=2-1) = ()
さらに次ページにつづく････
=

ページ6:

整理すると
1
辺々に
1
N+1
をかけて 0≦
2
N+
(1-x)2
店
X
N+1
Jo (1-x)2
-dx
N+1
x
N
(*
- dx ≤.
1
1
(
N+12
N
1
1
すなわち
0≤1
N+1
1
1
N+1
IN+1
-dx
N+12
N->∞
N+1
(1-x)2
いちばん右を無限大にとばすと
lim
NN + 12
よって、はさみうちの原理により
lim I = 0
N+1
N→8
n
したがって lim S, =1-log2lim Iv+1
N→∞
N→∞
=1-log2-0
=1-log2
N
=0
よって, 部分和の無限数列が収束し, 極限値が1-log 2
8
だから無限級数
k=ln(n+1)2
n
は収束し, その和は
1-log2。
おしまいノシ
N